Furjė eilutė: istorija ir įtaka matematinės mechanizmas mokslo plėtros

Furjė eilutė - šis požiūris pasirinktas pasirenkamai funkcijas į iš eilės laikotarpį. Apskritai, šis sprendimas yra vadinamas išplėtimo elementą ortogonalinis pagrindu. Iš funkcijų Furjė eilutė plėtra yra gana galingas įrankis sprendžiant įvairias problemas, dėl to, kad į integracijos, diferencijavimo transformacijos savybių, taip pat kaip argumentas saviraiškos ir Konvoliucija pamainą.

Asmuo, kuris nėra susipažinęs su aukštosios matematikos, taip pat su Prancūzijos mokslininkas Furjė darbų, greičiausiai nesupras, kas yra "gretas" ir ką jie daro. Tačiau ši transformacija yra gana tvirtai įžengė mūsų gyvenimus. Jis naudojamas ne tik matematikos, bet ir fizikai, chemikai, gydytojai astronomai, seismologai, oceanographers ir kt. Leiskite mums taip pat atidžiau pažvelgti su didžiojo prancūzų mokslininko darbų, kurie padarė atradimą, lenkia savo laiką.

Žmogus ir Furjė transformacija

Furjė eilutė yra vienas iš būdų (kartu su analizės ir kiti) Furjė transformacija. Šis procesas vyksta kiekvieną kartą, kai žmogus girdi bet kokį garsą. Mūsų ausis automatiškai konvertuoja garso bangą. Oscylacyjny judėjimas elementariųjų dalelių elastiniu terpėje yra išplėsta į eilutę (spektro) paeiliui tūrio verčių tonai skirtingų aukščių. Be to, smegenys konvertuoja šiuos duomenis į pažįstamus garsus mus. Visa tai kartu su mūsų noras ar pati sąmonę, tačiau norint suprasti procesus, kurie užtrukti keletą metų studijuoti aukštosios matematikos.

Skaityti daugiau apie Furjė transformacija

Furjė transformacija gali būti atliekamas analizės, skaitmenys ir kitais metodais. Furjė eilutė yra skaitmuo procesas skaidančių jokių svyruojančia procesus - nuo vandenyno potvynius ir bangų šviesos ir saulės ciklų (ir kitų astronominių objektų) veiklos. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima išardyti funkciją, ty jokių svyruojančia procesus iš sinusinių komponentų, kad eiti nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai skaičiaus. Furjė transformacija yra funkcija, aprašant fazę ir amplitudę sinusoidžių, atitinkančių ypač dažnį. Šis procesas gali būti naudojamas sprendžiant labai sudėtingas lygtis, kuri apibūdina dinaminius procesus, vykstančius pagal šilumos, šviesos ar elektros energijos veiksmų. Be to, Furjė eilutė naudojama atskirti DC komponentus sudėtingų signalų, kad būtų galima teisingai interpretuoti eksperimentinius stebėjimus medicinos, chemijos ir astronomijos.

istorinė informacija

Įkūrėjo šios teorijos yra prancūzų matematikas Zhan Batist Zhozef Fure. Jo vardas vėliau ir ši transformacija buvo pavadinta. Iš pradžių mokslininkai naudojo techniką, mokytis ir paaiškinti šilumos laidumo mechanizmų - šilumos sklidimą į kietųjų dalelių. Furjė pasiūlė, kad pradinis netolygus šilumos banga gali būti išskaidytas į paprasčiau sinusoidės, iš kurių kiekvienas turės savo temperatūros minimalaus ir maksimalaus, taip pat savo etapą. Taigi kiekvieno tokio komponento turi būti matuojamas nuo mažiausio iki didžiausio ir atvirkščiai. Matematinė funkcija, kuri aprašoma viršutinį ir apatinį pikus kreivės, taip pat vienas nuo harmonikos etapas, vadinamas Furjė transformaciją temperatūros paskirstymo išraiška. Iš sumažėjusio bendro paskirstymo funkcija teorijos autorius, kad yra sunku matematinis aprašymas, labai lengva valdyti numerį periodinių funkcijų sine ir kosinuso, į suteikiant pradinį paskirstymą sumos.

Atsivertimo principas ir iš amžininkų peržiūros

Amžininkai mokslininko - pirmaujančių matematikai XIX amžiuje - nepriėmė šią teoriją. Pagrindinis prieštaravimas buvo Furjė patvirtinimo, kad pertraukiami funkcija aprašant tiesią liniją arba kreivę yra neveikiančių, ji gali būti pateikiama kaip laidininko sinusoidinių išraiškos, kad tęstinio suma. Pavyzdžiui, mano "Step" Heaviside: jo vertė yra lygi nuliui į varžybų pradžią ir vienas dešinėje. Ši funkcija apibūdina elektros srovės priklausomybė nuo laiko kintamasis uždarymo grandinėje. Šiuolaikinio teorija tuo metu, niekada susidūrė su tokia situacija, kai nenuolatinis išraiška būtų apibūdinti naudojamas jų gamybos nuolatinis, bendrų funkcijų, tokių kaip eksponentinis, sine, linijinės arba kvadratin derinys.

Kas nesiteikė Prancūzijos matematikai į Furjė teorijos?

Po to, kai visi, jei matematikas buvo teisingai teigia, tada, sudedant begalinį nepertraukiamai kinta Furjė eilutė, ji yra įmanoma gauti tikslią atstovavimą išraiškos žingsnio, net jei jis turi kelis panašius žingsnių rinkinį. Be XIX amžiuje, šis pareiškimas atrodė absurdiška. Tačiau, nepaisant visų abejonių, daugelis matematikų išplėtė šio reiškinio tyrimo sritį, perkeliant ją už šilumos laidumo tyrimai. Tačiau dauguma mokslininkų ir toliau kenčia klausimą: "Ar nuo sinusinės bangos serijos suma konverguoja į tikslią vertę diskretinio funkcija"

Konvergencija Furjė eilutė: pavyzdys

Konvergencijos klausimas kyla kiekvieną kartą jums reikia begalybės serijos numerius sumavimo. mano klasikinis pavyzdys šio reiškinio supratimo. Ar jūs kada nors pasiekti sieną, jei kiekvienas žingsnis yra pusė Ankstesnis? Tarkime, jūs esate dviejų metrų nuo tikslo, pirmas žingsnis arčiau maždaug pusė būdu, kitą - iš trijų ketvirtadalių ženklas, o po penktos, jums bus įveikti beveik 97 proc būdu. Tačiau, nesvarbu, kiek žingsnių padarei nei, numatytą tikslą pasieksite per griežta matematine prasme. Naudojant skaitmeninius skaičiavimus, mes galime įrodyti, kad, galų gale, gali būti arčiau savavališkai mažą tikrą atstumą. Tai prilygsta įrodymą, įrodančius, kad bendra vertė pusę, vienas Ketvirta, ir pan., E. linkę vienybę.

Konvergencijos klausimas: antrasis atėjimas, ar priemonė Lord Kelvin

Pakartotinai klausimas kilo XIX amžiuje, kai Furjė eilutė bandėme naudoti prognozuoti atoslūgiai ir srautų intensyvumą. Tuo metu, Lord Kelvin buvo išrastas prietaisas yra analoginis kompiuteris, kuris leido buriuotojai tamsiai ir prekybininkai jūrų monitorius yra natūralus reiškinys. Šis mechanizmas apibrėžta rinkinys fazių ir amplitudžių stalo aukštis nuo jūros lygio ir atitinkamas laiko momentais, kruopščiai matuojami į uostą per metus. Kiekvienas parametras yra sinusine komponentas išraiška banga aukštumas ir buvo vienas iš reguliarių komponentų. Matavimų rezultatai yra įvesties į duomenų apdorojimo įrenginio Lord Kelvin, sintezės kreivę, kad prognozuojama aukštį vandens, kaip kitų metų funkciją. Labai greitai šie kreivės buvo parengtos visoms pasaulio uostų.

Ir jei procesas bus suskaidytas trūkiuoju funkciją?

Tuo metu atrodė, akivaizdu, kad prietaisas prognozuoja potvynio banga su daug elementų sąskaitą galima apskaičiuoti daug etapų ir amplitudžių ir taip suteikti tikslesnę prognozę. Nepaisant to, paaiškėjo, kad šis modelis yra nesilaikoma tais atvejais, kai potvynio išraiška, kuri bus apibendrinti, esančių aštrių šuolis, tai yra, yra nenuolatinis. Tuo atveju, kai aparatas įvesti duomenis iš laiko kiekis stalo, jis skaičiuoja kelis Furjė koeficientus. Atstatymas pirminę funkciją dėl sinusinės komponento (laikantis rasti koeficientus). Tarp originalo ir rekonstruotame išraiškos neatitikimas gali būti matuojamas bet kuriame taške. Kai pakartotiniai skaičiavimai ir palyginimai gali būti vertinamas, kad didžiausia klaida vertė nesumažėja. Tačiau, jie yra lokalizuota regione, atitinkančio trūkimo punkte, ir bet kuri kita vieta linkę iki nulio. 1899, tai rezultatas buvo patvirtinta teoriškai Jozuė Willard Gibbs Jeilio universitete.

Konvergencija Furjė eilutė ir matematikos vystymasis kaip visuma

Furjė analizė netaikoma išraiškos, kurių sudėtyje yra begalinį skaičių eilių tam tikru intervalu. Apskritai Furjė eilutė, jei originalus funkcija atstovauja faktines fizinių matavimų rezultatas, visada susilieja. Klausimai konvergencijos šio proceso konkrečių klasių funkcijų paskatino naujų šakų matematikos, pavyzdžiui, bendrųjų funkcijų teorija. Jis yra susijęs su pavadinimais, pvz Schwartz, J .. Mikusiński ir J. Temple. Pagal šią teoriją, aiškiai ir tiksliai teorinis pagrindas tokia išraiška buvo nustatyta kaip Dirac delta funkcija (tai apibūdina vienu srityje regioną, koncentruotas į begalybės kaimynystėje taško) ir "pakopos" Heaviside. Per šį darbą Furjė eilutė tapo taikytina sprendžiant lygtis ir problemas, kurios apima intuityvus sąvokas: taškas įkrovimo punktas masinius, magnetiniai dipoliai, o koncentruota apkrova sijos.

Furjė metodas

Furjė eilutė, pagal trukdžių principus, pradėti su sudėtingų formų skaidymu į paprastesnis. Pavyzdžiui, šilumos srauto pokytis dėl savo praėjimą per įvairių kliūčių šilumos izoliacine medžiaga netaisyklingos formos ar besikeičiančioje žemės paviršiaus - žemės drebėjimo, kuri priklauso nuo dangaus kūno orbitos pokyčių - planetų įtaka. Paprastai, šie lygtys, aprašančios paprastą klasikiniu sistemos ELEMENTARY išspręsti kiekvienam atskiram bangos ilgiui. Furjė parodė, kad paprasti sprendimai gali būti apibendrinti taip daugiau sudėtingų užduočių. Matematikos kalba, Furjė eilutė - metodika saviraiškos suma harmonikų pateikimo - kosinuso ir sinuso bangos. Todėl ši analizė yra taip pat žinomas pagal pavadinimą "harmonikos analizė".

Furjė eilutė - idealus būdas į "kompiuterių amžiaus"

Prieš kompiuterinių technologijų Furjė metodu kūrimo yra geriausias ginklas mokslininkų, dirbančių su bangų pobūdį mūsų pasaulyje arsenalą. Furjė eilutė sudėtingų forma leidžia ne tik spręsti paprastus problemas, kurios yra linkusios į tiesioginio taikymo Niutono dėsniai mechanikoje, bet ir pagrindines lygtis. Dauguma Niutono mokslą XIX amžiaus atradimų tapo įmanoma tik dėl to, kad Furjė metodu.

Furjė eilutė šiandien

Su Furjė plėtros transformuoti kompiuteriai pakilo į naują lygmenį. Šis metodas yra tvirtai įtvirtinti beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdžiui, skaitmeninio garso ir vaizdo. Jos įgyvendinimas tapo įmanomas tik dėka teorijos, kurią sukūrė prancūzų matematikas XIX amžiuje. Taigi, Furjė eilutė sudėtingų forma leido padaryti perversmą kosmoso tyrimo. Be to, ji turėjo įtakos puslaidininkių medžiagų ir kraujo plazmoje, mikrobangų akustika, okeanografijos, radaras, seismologijos fizikos studijas.

Trigonometric Furjė eilutė

Matematikos, Furjė serija yra atvaizdavimo savavališkų sudėtingų funkcijų kaip paprastesnė suma būdas. Bendrais atvejais išraiškų skaičius gali būti begalinis. Kuo didesnis numeris skaičiuojami į apskaičiavimą, tuo tikslesnis galutinis rezultatas yra gaunamas. Labiausiai paplitęs paprastos Trigonometrinis kosinuso ar sine funkcija. Šiuo atveju Furjė eilutė vadinama Trigonometric, ir tokių posakių sprendimas - harmonikų skilimo. Šis metodas vaidina svarbų vaidmenį matematikos. Pirmiausia, trigono serijos numato priemones už vaizdą, taip pat funkcijų tyrimą, tai yra pagrindinis vienetas teorija. Be to, ji leidžia mums išspręsti keletą problemų matematinės fizikos skaičių. Galiausiai, ši teorija prisidėjo prie plėtros matematinės analizės, jis sukėlė iš labai svarbių šakų matematinės mokslo (teorijos integralai, periodinių funkcijų teorija) skaičius. Be to, atspirties taškas už šias vystymosi teorijos: rinkiniai, funkcijos realus kintamasis, funkcinės analizės, o taip pat padėjo harmoninių analizės pagrindą.