Penktasis Euklido postulatas: formulavimas

Manoma, kad pirmosios žmogaus civilizacijos atsirado prieš 10 000 metų. Palyginti su mūsų planetos amžiumi, kuris, pasak mokslininkų, yra apie 4,54 mln. Metų, tai tik trumpas momentas. Dėl šio "momento" žmonija padarė didelį šuolį nuo primityvių akmens įrankių į tarpplanetines erdvėlaivius. Būtų neįmanoma, jei laikas nuo laiko planetoje genijus nebūtų gimęs, judantis mokslas į priekį. Tarp jų, žinoma, yra Euklidas. Jo darbai tapo pagrindu ir galingu impulsu šiuolaikinės matematikos plėtrai.

Šis straipsnis skirtas penktam Euklido postulatui ir jo istorijai.

Kaip geometrija

Kadangi žemės sklypai tapo pardavimo ir nuomos objektu, jų dydis ir plotas turėjo būti matuojami, įskaitant skaičiavimus. Be to, tokie skaičiavimai tapo būtini didelės apimties statinių statybai, taip pat įvairių daiktų kiekiui matuoti. Visa tai tapo išankstiniais žemės dailės meno atsiradimo Egipte ir Babilone 3-4 tūkstantmečius. Jis buvo empirinis ir buvo pavyzdžių, kaip išspręsti keletą šimtų konkrečių problemų, be jokių įrodymų.

Kaip sisteminis mokslas, senovės Graikijoje atsirado geometrija. Iki trečiojo amžiaus pr. Kr. Buvo daug faktų ir įrodymų. Tuo pačiu metu atsirado užduotis apibendrinti surinktą gana platų geometrinę medžiagą. Jis bandė išspręsti Hipokratas, Fediy ir kitus senovės graikų filosofus. Tačiau logiškai pritaikyta mokslo sistema atsirado tik apie 300 m. Pr. Kr. E. Paskelbus "Elementus".

Kas buvo Euklidas?

Senovės Graikija davė pasauliui daugybę didžiausių filosofų ir mokslininkų. Vienas iš jų yra Euklidas, kuris tapo Aleksandrijos matematikos mokyklos įkūrėja. Apie patį mokslininką beveik nieko nėra žinoma. Kai kurie šaltiniai rodo, kad jo jaunystėje būsimasis Tėvas šiuolaikinės geometrijos studijavo garsioje Platono mokykloje Atėnuose, o vėliau grįžo į Aleksandriją, kur toliau mokėsi matematikos ir optikos, taip pat rašė muziką. Savo gimtojoje miesto dalyje jis įkūrė mokyklą, kurioje kartu su savo moksleiviais sukūrė savo garsų kūrinį, kuris daugiau nei dvi tūkstantmetis yra pagrindas bet kokiam planimetrijos ir stereometrijos vadovui.

"Euklido pradžia"

Pagrindinis ir pirmasis sistemingiausias geometrijos darbas susideda iš 13 tomų. Pirmosios keturios ir šeštosios knygos susijusios su planimetrija, o 11, 12 ir 13 yra stereometriniai. Kalbant apie likusius kiekius, jie yra skirti aritmetikai, kuri pateikiama geometrinių postulatų požiūriu.

Euklido pagrindinio darbo vaidmuo tolesnėje matematikos mokslo raidoje negali būti pervertintas. Keli papirusiniai originalo, taip pat bizantijos rankraščių sąrašai pasiekė mus.

Viduramžiais "Elementai" Euklido buvo pirmiausia ištirti arabai, kurie laikė juos vienu iš didžiausių žmogaus minties darbų, o pats mokslininkas yra Damasko gyventojas. Daug vėliau šie darbai domėjosi europiečiais. Su spausdinimo atsiradimu, mokslas, įskaitant Euklido geometriją, nustojo būti tik išrinktųjų nuosavybe. Po pirmojo leidimo 1533 m. "Elementai" tapo prieinami visiems, norintiems pažinti pasaulį, ir kiekvienais metais vis daugiau ir daugiau. Paklausa sukūrė pasiūlymą, todėl manoma, kad šis darbas yra antrasis tarp labiausiai paplitusių senovinių vietų po Biblijos.

Kai kurios funkcijos

"Pradžios" apibūdina erdvines, tuščias, begalines ir izotropines erdves, paprastai vadinamą euklido, metrines savybes. Tai laikoma arena, kurioje atsiranda klasikinės fizikos Galileo ir Newtono reiškiniai.

Elementarinis geometrinis objektas, pagal Euklido, yra taškas. Antroji svarbi sąvoka yra erdvės begalybė, kurią apibūdina pirmieji trys postulatai. Ketvirtasis klausimas susijęs su lygiaverčiais kampais. Kalbant apie penktąjį Euklido postulatą, jis nustato Euklido erdvės ypatybes ir geometriją.

Pasak mokslininkų, klasikinės geometrijos tėvas sukūrė puikų vadovėlį, kurio tyrimas, dėl kurio pateikimo būdo, yra pašalinamas bet koks medžiagos nesusipratimas. Visų pirma kiekvienas "pradžios" tomas prasideda nuo pirmą kartą aptartų sąvokų apibrėžimo. Visų pirma, iš pirmųjų pirmosios knygos puslapių skaitytojas sužinosi, koks taškas, eilutė, linija ir kt. Apskritai, 23 sąvokos yra būtinos, norint suvokti pagrindinius šio pagrindinio darbo esmės aspektus.

Axioms ir pirmieji keturi Euklido postulatai

Po apibrėžimų "Nachal" autorius cituoja pasiūlymus, kurie yra priimami be įrodymų. Jie padalija juos į aksiomas ir postulatus. Pirmąją grupę sudaro 11 teiginių, kurie yra intuityviai žinomi asmeniui. Pavyzdžiui, 8-oji aksioma teigia, kad visa yra didesnė už dalį, o pagal pirmąjį, du kiekiai, kurie yra atskirai lygūs trečiajam, yra vienodi.

Be to, Euklidas suteikia 5 postulatus. Pirmieji keturi skaityti:

• Nuo bet kokio taško iki bet kurio kito galima nutiesti tiesią liniją;
• Iš bet kurio spindulio centro galima apibūdinti ratą;
• Apribota linija gali tęstis tiesia linija;
• Visi kampai yra lygūs.

Penktasis Euklido postulatas

Daugiau nei du tūkstantmečius šis teiginys ne kartą tapo objektu, kuriame matematikai atidžiai domisi. Tačiau pirmiausia leiskite mums susipažinti su penktojo Euklido postulato turiniu. Taigi, šiuolaikinėje formuluotėje tai skamba taip: jei plokštumoje su dviejų tiesių sankirta, trečioji vienos pusės vidinių kampų suma yra mažesnė nei 180 °, tada šios linijos anksčiau ar vėliau sukurs į šoną, su kuria ši vertė (suma) yra mažesnė nei 180 °.

Penktasis Euklido postulatas, kurio formulavimas skirtinguose šaltiniuose pateikiamas skirtingai, nuo pat pradžių paskatino sportą ir norą jį išversti į teoremų kategoriją, sukuriant pagrįstą įrodymą. Beje, ji dažnai pakeičiama kita išraiška, iš tikrųjų išradusi Proclus ir žinoma kaip "Playfair" aksioma. Tai sakoma: plokštumoje per tašką, kuris nepriklauso tam tikrajai linijai, galima išskirti vieną ir vienintelę tiesią liniją, lygiagrečią šiai.

Kompozicijos

Kaip jau minėta, daugelis mokslininkų bandė skirtingai išreikšti 5-os Euklido postulato idėją. Daug formuluotes yra gana akivaizdus. Pavyzdžiui:

• Artėja tiesios linijos susikerta;
• Yra mažiausiai vienas stačiakampis, ty 4 gonas su keturiais stačiais kampais;
• Kiekvienas skaičius gali būti proporcingai padidintas;
• Yra trikampis, kurio bet kokio dydžio plotas yra savavališkai didelis.

Trūkumai

Euklido geometrija tapo didžiausia matematikos veikla senovėje ir iki XIX amžiaus jis karaliavo aukščiausias matematikos. Nepaisant to, kai kuriuos jos trūkumus pastebėjo šiuolaikiniai autoriai ir senovės graikų mokslininkai, kurie gyveno šiek tiek vėliau. Visų pirma, Archimedas pridėjo naują aksiomą, pavadintą po jo. Ji sako: bet kuriuose segmentuose AB ir CD egzistuoja natūralus n skaičius tokiu, kad n · [AB]> [CD].

Be to, mokslininkai siekė sumažinti Eiklidų postulatų ir aksiomų sistemą. Norėdami tai padaryti, jie paėmė kai kuriuos iš kitų.

Taigi buvo galima "atsikratyti" 4-ojo postulato apie lygiaverčius kampus. Jam buvo rastas griežtas įrodymas, kuris padarė jį teoretiku.

5-ojo postulato istorija senovėje ir ankstyvame viduramžiais

Šios Euklido geometrijos teiginio klasikinė formuluotė atrodo kur kas mažiau akivaizdi, nei kitos keturios. Tai buvo ta aplinkybė, kuri netrukdė matematikams.

Penktojo Euklido postulato kliūtis buvo dviejų linijų a ir b lygiagretumo apibrėžimas, kuriame sakoma, kad dviejų vienpusių kampų, susidarančių a ir b sankirtos su trečiąja tiesine linija c, suma yra 180 laipsnių.

Pirmasis bandymas tai įrodyti kaip teoremą pradėjo senovės graikų geometras Posidoniusas. Jis pasiūlė, kad visų taškų plokštumoje, esančių tame pačiame atstumu nuo pradinės plokštumos, rinkinys būtų laikomas tiesioginiu lygiu nurodytam. Tačiau net tai neleido Posidonijai rasti 5-ojo postulato įrodymų.

Kitų matematikų, įskaitant viduramžių, tokių kaip arabai iš Ibn Korra ir Hayam, bandymai nieko nepadarė. Vienintelis dalykas, kuris buvo pasiektas, yra naujų postulatų atsiradimas, kurie yra įrodyti atsižvelgiant į įvairias prielaidas.

XVIII-XIX a

Katalikinė geometrija toliau domino matematikus XVIII a. Visų pirma, Prancūzijos matematikas A. Legendre sugebėjo artėti prie Euklido paralelizmo aksiomos įrodymo. Jo rašiklis priklauso išleistam vadovėliui "Geometrijos pradžia", kuris apie 150 metų buvo pagrindinis matematikos mokymas Rusijos imperijos mokyklose. Jame mokslininkas davė tris variantus, įrodančius Euklido paralelizmo aksiomą, tačiau visi jie pasirodė neteisingi.

Iki XIX a. Pradžios atsirado idėja sukurti ne Euklido geometriją. Pirmasis sistemos aprašymas, kuris nepriklauso nuo penktojo postulato, buvo pateiktas karo inžinieriaus J. Boyay. Tačiau pats jis buvo išsigandęs dėl jo atradimų ir neišplėtojo šios idėjos, manydamas, kad jis klaidingas. Didysis vokiečių matematikas K. Gassas taip pat negalėjo pasiekti sėkmės.

Proveržis

Daugiau nei 2000 metų penktasis Euklido postulatas, įrodymas, kurį bandė rasti šimtai mokslininkų, tebuvo daugiausia matematikos problema. Šį proveržį padarė rusų matematikas N. I. Лобачевский. Jis buvo pirmasis pasaulyje, kuris apibūdino realiosios erdvės savybes, įrodydamas, kad Euklido geometrija "veikia" tik konkrečiu jo sistemos atveju.

N.I. Lobachevsky iš pradžių sekė tą pačią taką kaip ir jo kolegos. Bandydamas įrodyti 5 postulatą, jis nepasiekė sėkmės. Tada mokslininkas atsisakė euklido sąvokos, pagal kurią trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Be to, jis pradėjo įrodyti šį priešingą teiginį ir gavo naują formuluotę penktam postulatui. Dabar jis leido egzistuoti kelias linijas, lygiagrečias tam tikram, ir einantis per tašką, esantį už šios linijos.

Nauja geometrija

Nereikia diskutuoti apie tai, kas padarė daugiau matematinių mokslų. Euklido ir Lobachevskio vaidmuo yra panašus į įtaką Niutono ir Einšteino fizikos formavimui ir vystymuisi. Tuo pačiu metu nauja absoliuti geometrija leido mums suprasti erdvės sąvoką, atskirtą nuo klasikinio metodo "Aš galiu tik suprasti, ką galiu išmatuoti". Tačiau tai yra požiūris, kuris praktikuojamas moksle daugelį tūkstantmečių.

Deja, dabartinių žmonių neatsirado ir suprato Lobachevskio geometrijos idėjų. Visų pirma jo mokiniai tęsė mokslininko darbą, o ne euklido geometrijos kūrimas buvo atidėtas keletą dešimtmečių.

Kai kurios Lobachevskio teorijos savybės

Norėdami suprasti naują geometriją, turime atsižvelgti į kosminę begalybę. Tiesą sakant, sunku įsivaizduoti, kad begalinė visata yra tiesioginių erdvių suma.

Lobachevskio geometrija naudojama norint apibūdinti kreivines erdves, kurios yra sukurtos gravitacinių laukų galaktikų. Ji leido pasitraukti nuo visų figūrų sumažinimo iki "maždaug dešinės" cilindro, apskritimo, piramidės ar savavališkai šių figūrų derinio. Galų gale, pavyzdžiui, mūsų planeta iš tikrųjų nėra sfera, o geoidas, tai yra figūra, kuri gaunama apibūdinant išorinę Žemės litosferos kontūrą (kietą apvalkalą).

Tikrame gyvenime yra visatos kreivinearių erdvių analogų, leidžiančių įsivaizduoti galimybę egzistuoti keletą tiesioginių lygiagretumų, einančių per vieną tašką. Visų pirma, tai yra trijų tipų išgaubti paviršiai, kuriuos išskiria italų geometrija E. Beltrami ir vadinamos pseudosperiais.

Tolesnė Lobachevskio teorijos raida

Neįvykdytas rusas nebuvo vienintelis, kuris teigė, kad Euklido geometrija nėra absoliuti. Pirmiausia 1854 m. Matematikas B. Riemanas išryškino galimybę nulinės, teigiamos ir neigiamos kreivės erdvių egzistavimą. Tai reiškė, kad galima sukurti begalinį skaičių skirtingų ne klasikinių geometrijų.

Iš B. Riemanno pozicijos, studijavęs daugiausia erdves su teigiama kreive, 5-asis Euklido postulatas skamba gana netikėtai. Remiantis jo idėjomis, tiesia linija negali būti nutiesta per tašką už šios linijos, kuri yra lygiagreti šiai.

Pagal Kleino teoriją situacija visiškai skiriasi su nulinės, neigiamos ir teigiamos kreivės erdvėmis. Visų pirma, pirmą kartą jie aprašomi parabolinės geometrijos, kurios ypatingas atvejis yra klasikinis, antruoju atveju jie laikosi Lobachevskio idėjų, o trečia jie atitinka Riemano aprašytas savybes.

Išleidus Alberto Einšteino teoriją apie santykį, tokių erdvių sąvokos buvo papildytos duomenimis, kuriuose buvo atsižvelgta į keturis tarpusavyje susijusius ir besikeičiančius matmenis - masę, energiją, greitį ir laiką.

Praktiškai

Jei eisime į žmogaus erdvės suvokimą, tada didžiojo trikampio sausumos orbitoje didžiausias vidinių kampų sumos nukrypimas nuo klasikinės 180 laipsnių yra tik keturi milijonai sekundžių. Tokia vertė viršija homo sapiens galimybes, todėl Euklido geometrija reikalauja "žemiškų".

Būtina palaukti, kol bus sukurtos sąlygos, leidžiančios gauti eksperimentinius duomenis, patvirtinančius ar paneigiančias N. Lobachevskio ir B. Riemano teorijas Galaktikos skalėje.

Dabar jūs žinote, kad skelbia penktą Euklido postulatą ir jo istoriją, kuri yra labai pamokanti ir leidžia atsekti žmogaus minties raidą per pastaruosius 2300 metų.