Neribotam integralas. Skaičiuojamos neriboto integralai

Vienas iš pagrindinių sekcijų matematinės analizės yra neatsiejama skaičiavimas. Ji apima labai platų lauką objektų, kur pirmasis - tai neapibrėžta vientisas. Pozicija jis stovi kaip raktas, kuris vis dar vidurinėje mokykloje atskleidžia vis daugiau perspektyvų ir galimybių, kuriame aprašoma aukštosios matematikos.

išvaizda

Iš pirmo žvilgsnio, atrodo, visiškai neatsiejama šiuolaikinės, aktuali, tačiau praktikoje paaiškėja, kad jis grįžo į 1800 BC. Pagrindinis oficialiai laikomas Egiptas kaip nepasiekė mums anksčiau jo buvimą patvirtinančius įrodymus. Tai dėl to, kad trūksta informacijos, visą laiką pastatytas tiesiog kaip reiškinį. Jis dar kartą patvirtina, kad mokslo plėtra tų kartų tautų lygį. Galiausiai, darbai buvo rasti senovės graikų matematikai, pažintys nuo 4 amžiuje prieš Kristų. Jie apibūdinti metodas, naudojamas, kai neribotam sudėtinė, kurio esmė buvo rasti tūrį arba plotą kreivinio formos (trimatis ir dviejų matmenų plokštumoje, atitinkamai). skaičiavimas buvo grindžiamas skyriaus pradinio figūra į begalybės komponentų principu, su sąlyga, kad apimtis (sritis) jau žinoma su jais. Laikui bėgant, šis metodas išaugo, Archimedas naudojo jį rasti iš Parabolė plotą. Panašūs skaičiavimai tuo pačiu metu atlikti pratimus senovės Kinijoje, kur jie buvo visiškai nepriklausoma nuo Graikijos kolega mokslas.

plėtra

Kitas laimėjimas XI amžiuje prieš Kristų tapo arabų mokslininkas darbas "vagonas" Abu Ali al-Basri, kas stumiama ribų jau žinomas, buvo kilęs iš vientiso formulę apskaičiuojant sumas ir laipsnių nuo pirmojo-ketvirtojo sumas, taikant tai žinoma, kad mus indukcijos metodas.
Protai šiandien žavisi senovės egiptiečiai sukūrė nuostabų paminklus be jokių specialių įrankių, išskyrus, kad jų pačių rankose, bet ne maitinimo proto mokslininkai laiko ne mažiau stebuklas? Lyginant su dabartiniu laikais jų gyvenime, atrodo beveik primityvus, bet neriboto integralai sprendimas išvadą visur ir naudojami praktikoje tolimesnei plėtrai.

Kitas žingsnis vyko XVI amžiuje, kai Italijos matematikas Cavalieri "atnešė nedalomą metodą, kuris pakėlė Per ferma. Šie du asmenybė padėjo pamatus šiuolaikinei całkowego, kuri yra žinoma šiuo metu. Jie surišo diferenciacijos ir integracijos sąvokas, kurios anksčiau buvo laikomi savarankiškai vienetus. Apskritai, to meto matematika buvo suskaldyta dalelės išvados egzistuoja patys, su riboto naudojimo. Būdas vienytis ir rasti bendrą pagrindą buvo vienintelė tiesa tuo metu, dėka jo, šiuolaikinė matematinė analizė turėjo galimybę augti ir vystytis.

Laikui bėgant viską keičia ir neatsiejama simbolį taip pat. Apskritai, jis buvo paskirta mokslininkams, kuris savaip, pavyzdžiui, Niutonas naudojami akimirkos piktogramą, kuri įdėti integrable funkcija, arba tiesiog kartu sudėjus. Šis skirtumas truko iki XVII amžiaus, kai visai teorijos Matematinė analizė mokslininkas Gotfrid Leybnits žymus objektas pristatė tokį charakterį susipažinę su mumis. Pailgos "S", iš tikrųjų, remiantis šio laiško lotyniškos abėcėlės, nes žymi primityvų sumą. Iš integralas vardas gauti dėka Jakob Bernoulli, po 15 metų.

Formalus apibrėžimas

Neribotam neatsiejama priklauso nuo primityvus apibrėžimo, todėl mes manome, kad į pirmąją vietą.

Pirmykštė - yra atvirkštinė funkcija su dariniu,, praktiškai jis yra vadinamas primityvi. Kitaip: primityvi funkcija D - tai funkcija, D, kuris yra darinys prieš <=> V '= prieš. Paieška primityvus yra apskaičiuoti neterminuota neatsiejama, o pats procesas yra vadinamas integracija.

pavyzdys:

Funkcija s (y) = Y ^3, ir jos primityvus S (Y) = (Y ^4/4).

Iš visų funkcijų primityvų rinkinį - tai neapibrėžta neatsiejama, žymimas jį taip: ∫v (x) dx.

Pagal į tai, kad V (x) - yra tik kai primityvi originalus funkcija, išraiška turi: ∫v (x) dx = V (x) + C, kur C - pastovus. Pagal savavališkai konstanta nurodo bet pastovus, nes jo darinys yra lygus nuliui.

savybės

Turima pagal neribotam sudėtinė savybės, iš esmės grindžiamas apibrėžimu ir savybių dariniai.
Apsvarstykite pagrindinius dalykus:

• sudėtinė darinys prymitywnym yra primityvi ji pati kartu savavališkai konstanta C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• darinys, kurio jos funkcija integralas yra originalus funkcija <=> (∫v (x) DX) '= v (x);
• pastovus paimta iš pagal sudėtinė žymens <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kur k - yra savavališkas;
• sudėtinė, kuris yra paimtas iš tokio paties lygi suma į Integralų suma <=> ∫ (v (y) + w (y)) DY = ∫v (Y) DY + ∫w (Y) dy.

Per pastaruosius dvejus savybės gali būti daroma išvada, kad neterminuota neatsiejama yra tiesinė. Dėl to mes turime: ∫ (kV (Y) DY + ∫ LW (Y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (Y) dy.

Norėdami pamatyti pavyzdžius sujungimo sprendimai nekonkrečias integralas.

Jūs turite rasti neatsiejama ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Nuo Pavyzdžiui, mes galime daryti išvadą, kad jums nereikia žinoti, kaip išspręsti nekonkrečias integralas? Tiesiog rasti visus Pirmykštė! Bet paieška principus aptariami toliau.

Metodai ir pavyzdžiai

Siekiant išspręsti neatsiejama, galite kreiptis į šių būdų:

• paruoštas pasinaudoti lentelės;
• integruoti dalimis;
• integruota pakeičiant kintamąjį;
• sumuojant pagal skirtumo ženklas.

stalai

Paprastas ir malonus būdas. Šiuo metu Matematinė analizė gali pasigirti gana platus lenteles, kuriose išdėstė pagrindinę formulę neriboto integralai. Kitaip tariant, yra šablonai, gautos iki jums, ir jūs galite imtis tik pasinaudoti jų. Čia yra pagrindinio stalo pozicijų, kurios gali būti rodomi beveik kiekvienu atveju sąrašas turi sprendimą:

• ∫0dy = C, kur C - konstanta;
• ∫dy = y + C, kur C - konstanta;
• ∫y ⁿ DY = (Y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, kur C - konstanta, ir n - skaičius skiriasi nuo vienybės;
• ∫ (1 / Y) DY = LN | Y | + C, kur C - konstanta;
• ^{∫e Y DY = e y + C} , kur C - konstanta;
• ^{∫k Y DY = (k y /} LN k) + C, kur C - konstanta;
• ∫cosydy = siny + C, kur C - konstanta;
• ∫sinydy = -cosy + C, kur C - konstanta;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, kur C - konstanta;
• ∫dy / sin ² Y = -ctgy + C, kur C - konstanta;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kur C - konstanta;
• ∫chydy = drovūs + C, kur C - konstanta;
• ∫shydy = CHY + C, kur C - pastovus.

Jei reikia, pora žingsnių sukelti integrand į lentelės rodinyje ir mėgautis pergale. Pavyzdys: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C

Pagal sprendimo yra aišku, kad, pavyzdžiui, stalo integrand trūksta daugiklis 5. pridėti Mes ją lygiagrečiai su šiuo dauginant 1/5 bendrąjį saviraiškos nepakeitė.

Integravimo dalimis

Atsižvelgti dvi funkcijas - z (Y) ir X (Y). Jie turi būti nuolat sąskaitos įvairių savo domeno. Vienoje diferenciacijos savybių turime: D (xz) = xdz + zdx. iš abiejų pusių integravimas, gauname: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => Zx = ∫zdx + ∫xdz.

Perrašyti gautą lygtį, gauname formulę, kuri apibūdina integracijos metodą dalimis: ∫zdx = Zx - ∫xdz.

Kodėl tai būtina? Tas faktas, kad kai kurie iš pavyzdžių būtų galima supaprastinti, tarkim, sumažinti ∫zdx ∫xdz, jei pastaroji yra arti lentelių forma. Be to, ši formulė gali būti naudojama daugiau nei vieną kartą, už optimalius rezultatus.

Kaip išspręsti neribotam integralai tokiu būdu:

• reikia apskaičiuoti ∫ (S + 1) E ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {z =} s + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = e 2x} DS} = ((s + 1) E / ^2S) 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• turi apskaičiuoti ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = S, dy = ds} = slns - ∫s x ds / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Pakeisti kintamąjį

Šis sprendimas nekonkrečias integralas principas yra ne mažiau paklausos nei ankstesnės dvi, nors sudėtinga. Metodas yra taip: Sakykim: V (x) - kokio nors funkcija v (x) vientisas. Tuo atveju, savaime neatsiejama slozhnosochinenny pavyzdys ateina, tikėtina, susipainioti ir eiti neteisingu keliu sprendimus. Siekiant išvengti šios praktikos pokyčius nuo kintamojo X Z, kuriame apskritai išraiška vizualiai supaprastintą išlaikant z priklausomai nuo x.

Matematinių terminų, tai yra taip: ∫v (x) dx = ∫v (Y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (Y -1 (x)), kur x = y ( z) - pakeisti. Ir, žinoma, atvirkštinė funkcija Z = Y ^-1 (x) visiškai aprašoma santykius ir kintamųjų. Svarbi pastaba - diferencialas DX nebūtinai pakeisti nauju diferencinę dz, nuo kintamojo pokyčio neribotam integralas apima pakeičiant ją visur, ne tik į integrand.

pavyzdys:

• turi rasti ∫ (S + 1) / (-ai ² + 2S - 5) DS

Taikyti pakaitinį z = (S + 1) / (S ² + 2s-5). Tada dz = 2sds = 2 + 2 (S + 1) DS <=> (s + 1) DS = dz / 2. Kaip rezultatas, taip išraiška, kuri yra labai lengva apskaičiuoti:

∫ (s + 1) / (-ai ² + 2S-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln z | + C = 1 / 2ln | S ² + 2S-5 | + C;

• turite rasti neatsiejama ∫2 ^-ai E ^S DX

Norėdami išspręsti per šią formą perrašyti:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} 2e) s DS.

Mes rodo pagal = 2e (pakeisti argumentu Šis žingsnis yra ne, ji vis dar -ai), mes suteikiame mūsų pažiūros sudėtingas neatsiejama pagrindinio lentelių forma:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s DS = A S / LNA + C = (2e) S / LN (2e) + C = 2 ^s E ^S / LN (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C

Apibendrinant diferencinį Prisijungti

Apskritai, šis laikotarpis yra neapibrėžtas integralas metodas - brolis dvynys iš kintamojo pokyčių principu, tačiau yra skirtumų registracijos procesą. Panagrinėkime išsamiau.

Jei ∫v (x) dx = V (x) + C ir y = z (x), tada ∫v (Y) DY = V (Y) + C

Tuo pačiu metu, mes neturime pamiršti, trivialus neatsiejama transformacijas, tarp kurių:

• DX = D (x + a), ir kur - kiekvienas konstanta;
• DX = (1 / a) d (AX + b), kur - nuolatinis vėl, bet ne nulis;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

Jei mes atsižvelgti į bendrą atvejį, kai mes apskaičiuoti neribotam sudėtinė, pavyzdžiai gali būti įtraukiamas į balanso bendra formulė w "(x) dx = sausos masės (x).

pavyzdžiai:

• turi rasti ∫ (2s + 3) ² ds, DS = 1 / 2d (2s + 3)

■ "(2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

Online pagalba

Kai kuriais atvejais, iš kurių kaltė gali tapti arba tinginystė, arba skubiai reikia, galite naudoti interneto instrukcijas, arba, tiksliau, naudoti skaičiuotuvą nekonkrečias integralas. Nepaisant akivaizdaus sudėtingumo ir prieštaringai pobūdžio integralai, sprendimas priklauso nuo jų konkretaus algoritmo, kuris yra paremtas ant "jei ne ... tada ..." principu.

Žinoma, ypač painus pavyzdžiai tokį skaičiuotuvą nebus įsisavinti, nes yra atvejų, kai sprendimas turi rasti dirbtinai "priversti", įvedant tam tikrus elementus šiame procese, nes rezultatai akivaizdūs būdų pasiekti. Nepaisant prieštaringo pobūdžio šio pareiškimo, tiesa, kaip matematikos, iš esmės, abstraktus mokslas, ir jo pagrindinis tikslas mano poreikis suteikti sienas. Iš tiesų, dėl sklandžiai Run-teorijose yra labai sunku judėti ir vystytis, todėl nereikia manyti, kad sprendžiant nekonkrečias integralas pavyzdžiai, kurie mums davė - tai galimybių aukštis. Bet atgal į techninės pusės dalykų. Bent patikrinti skaičiavimus, galite naudoti šią paslaugą, kurioje ji buvo parašyta mums. Jei yra automatinis skaičiavimo sudėtingų išraiškų reikia, tada jie neturi griebtis rimtesnių programinės įrangos. Turėtų atkreipti dėmesį pirmiausia į aplinką MatLab.

taikymas

Iš neriboto integralai iš pirmo žvilgsnio sprendimas atrodo visiškai atskirta nuo tikrovės, nes sunku matyti aiškų naudoti plokštumoje. Iš tiesų, tiesiogiai juos naudoti bet jūs galite ne, bet jie yra būtini tarpinis elementas atsisakyti sprendimų, naudojamų praktikoje procese. Taigi, nugaros diferenciacijos integracija, todėl aktyviai dalyvauja sprendžiant lygtis procesą.
Savo ruožtu, šios lygtys turi tiesioginį poveikį mechaninių problemų, trajektorija apskaičiavimo ir šilumos laidumo sprendimą - trumpai tariant, viskas, kas yra dabar ir formuojant ateitį. Neapibrėžtos neatsiejama, kurių pavyzdžiai Mes svarstėme anksčiau, trivialus tik iš pirmo žvilgsnio, kaip pagrindą atlikti vis daugiau ir daugiau naujų atradimų.