Raselo paradoksas: pagrindinė informacija, pavyzdžiai, formos

Russell paradoksas yra dvi viena po kitos loginis Antynomia.

Dviejų formų Raselo paradoksas

Dažniausiai aptarti forma prieštaringumo loginių rinkinių. Kai kurie iš rinkinio atrodo patys nariai, ir kiti - ne. Visų rinkinių rinkinys yra pats rinkinys, todėl atrodo, kad ji nurodo į save. Arba jis tuščias, tačiau neturėtų būti savaime narys. Todėl, visų rinkinių rinkinys, kaip nulio nėra įtraukta į save. Paradoksas atsiranda, kai nuo to, ar iš pačios valstybės rinkinys klausimas. Tai įmanoma, jei ir tik jei jis nėra.

Viena iš tokių formų paradoksas yra prieštaravimas dėl savybių. Kai kuriuose viešbučiuose, atrodo, kreiptis į save, o kiti ne. Turtas būti nuosavybė pati yra nuosavybė, o nuosavybės ar tai būtų katė nėra. Apsvarstykite turintys turto, kuris nepriklauso jam nuosavybės. jei ji taikoma savaime? Vėlgi, bet prielaidomis turėtų būti priešingai. Paradoksas buvo pavadintas garbei Bertrand Russell (1872-1970), kuris ją atrado 1901 metais.

istorija

Atidarymas Russellas įvyko jo darbą "principų Matematikos" metu. Nors jis atrado paradoksą nepriklausomai, yra įrodymų, kad kiti matematikai ir programuotojai iš teorijos, įskaitant Ernst Zermelo ir David Hilbert, žinojo apie pirmąją versiją prieštaravimų prieš jį. Russellas, tačiau buvo pirmieji, kurie išsamiai aptarti paradoksas jo paskelbtų darbų, pirmą kartą pabandė suformuluoti sprendimus ir pirmasis visiškai vertiname savo reikšmę. Visa skyrius "principų" buvo skirta aptarti šią problemą, ir prašymas buvo skirta tipų teorija, kuri Russellas siūlomos kaip sprendimas.

Russellas atrado "paradoksą melagis", atsižvelgiant Cantor anketa teorijos, kuri sako, kad bet kokio rinkinio galia yra mažesnė nei jos pogrupių rinkinys. Bent domene turėtų būti daug sutrumpinti, nes yra elementai tai, jei vienas poaibis kiekvieno elemento yra nustatyta, kurių sudėtyje yra tik šį elementą. Be to, Cantora įrodyta, kad elementų skaičius negali būti lygi pogrupių skaičius. Jei ten buvo tas pats numeris, tai turi egzistuoti kaip f funkciją, kad būtų rodomas elementus savo pogrupiuose. Tuo pačiu metu ji gali būti įrodyta, kad tai yra neįmanoma. Kai kurie elementai gali būti rodomas funkcija ƒ pogrupiuose, kuriuose juos, o kiti negali.

Apsvarstykite elementų, kurie nepriklauso jų vaizdus, kuriuose jie rodomi ƒ poaibis. Tai pati elementų poaibis, todėl ƒ funkcija būtų jį rodyti į domeno elementas. Problema yra ta, kad tada kyla klausimas, ar šis elementas yra siejamas su pogrupyje, į kurį ji rodo ƒ. Tai įmanoma tik tada, jei ji nepriklauso. Raselo paradoksas gali būti laikomas tos pačios argumentavimą Pavyzdžiui, tik supaprastinta. Kas yra daugiau - rinkiniai arba sutrumpinti rinkinio? Atrodytų, kad ten turėtų būti daugiau komplektai, kaip visų pačių rinkinių pogrupiuose. Bet jei Cantor teorema yra teisinga, tada ten turėtų būti daugiau poaibiai. Russellas laikoma tiesiog rodyti rinkinius apie save ir taikomos kantoriansky požiūrį atsižvelgiant į visų šių elementų, ne iš rinkinio, kuriame jie rodomi rinkinį. Rodoma Russellas tampa visų rinkinių, nevyriausybinės rinkinys.

klaida Frege

"Iš melagis paradoksas" turėjo didelę įtaką istorinės raidos rinkinių teorija. Jis parodė, kad universaliųjų rinkinys sąvoka yra labai problemiškas. Jis taip pat abejojo, ar mintį, kad už kiekvieną nustatytą sąlygą ar tarinio galime manyti, kad iš tik tų dalykų, kurie atitinka šią sąlygą įvairovei egzistavimą. Parinktis paradoksas dėl savybių - tai natūralus tęsinys į versiją rinkinių - kyla rimtų abejonių dėl to, ar tai yra įmanoma ginčytis apie objektyvų egzistavimą, turto ar visuotinio atitikties kiekvienas nustato sąlygą, ar tarinio.

Netrukus buvo nustatyta, kad prieštaravimų ir problemų iš logicians darbą, filosofai ir matematikai, kurie padarė panašias prielaidas. 1902, Russellas nustatė, kad paradoksas variantas gali būti išreikštas logišką sistemą, sukurta Volume I Gottlob Frege'S "Pamatai aritmetika", vienas iš pagrindinių darbų vėlyvojo XIX logika - XX amžiuje. Į Frege filosofijos daugelis suprantama kaip "papildymo" arba "vertės grupę" koncepcija. Sąvokos yra arčiausiai tų Koreliatyvios. Tikimasi, kad jie egzistuoja bet kuriuo būklės ar tarinio. Taigi, ten yra rinkinys, kuris nepatenka nė į jo apibūdinanti sąvoka sąvoka. Taip pat yra apibrėžta šios sąvokos klasė, ir ji yra taikoma apibrėžiant jos sąvoką tik jei jis nėra.

Russellas rašė Frege apie šį konfliktą birželio 1902 Susirašinėjimas tapo viena iš labiausiai jaudinantis ir kalbėjo apie logikos istorija. Frege karto pripažino pražūtingų pasekmių paradoksas. Jis pažymėjo, kad ginčas dėl jo filosofijos savybes versija buvo išspręsta atskirti tarp lygių sąvokas.

Frege s sąvoka suprantama kaip perėjimą nuo funkciją TRUE argumentais. Sąvokos pirmą lygį, atsižvelgiant, kaip argumentų antrojo lygio sąvokų objektus imtis kaip argumentų šių funkcijų, ir taip toliau. Taigi, ši sąvoka gali niekada imtis pati kaip argumentą, o kalbant apie savybes paradoksas negali būti formuluojamas. Nepaisant to rinkiniai, plėtimosi ar sąvokos Frege suprantama kaip nuoroda į tos pačios loginės tipo, kaip kad visų kitų objektų. Tada kiekvieną rinkinį kyla klausimas, ar jis patenka į ją apibrėžiant sąvoką.

Kai Frege, Russellas gavo pirmąjį laišką, antra tūrio "Pamatai aritmetika" jau yra baigtas spausdinti. Jis buvo priverstas greitai parengti paraišką, kad suteikia į Russell paradoksas atsakymą. Pavyzdžiai Frege esančius galimų sprendimų skaičių. Tačiau jis priėjo prie išvados, kad susilpninti abstrakcijos rinkinys koncepcija logiška sistema.

Pradiniame, buvo galima daryti išvadą, kad objektas priklauso nustatyti, jei ir tik jei jis patenka į sąvoką apibrėžia ją. Patikslintas sistema gali tik išvadą, kad objektas priklauso nustatyti, jei ir tik jei jis patenka į apibrėžiant pliuralizmą sąvoką, bet ne nustatyti klausimą. Raselo paradoksas kyla.

Sprendimas, tačiau tai nėra visiškai patenkintas Frege. Ir tai buvo priežastis. Po kelerių metų, sudėtingesnė forma prieštarauja dėl peržiūrėto sistemos buvo rasta. Tačiau dar prieš tai atsitiko, Frege atsisakė savo sprendimus ir, atrodo, priėjo prie išvados, kad jo požiūris buvo tiesiog nepraktiška, ir kad logika turės padaryti be jokių rinkinių.

Dar buvo pasiūlytos kitos, santykinai daugiau sėkmingų alternatyvius sprendimus. Jie bus aptarta žemiau.

Iš tipų teorija

Buvo minėta, kad Frege buvo tinkamas atsakas į paradoksų rinkinys teorijos redakcijos parengtas naudoti savybių. buvo prieš kurį dažniausiai aptarta tirpalo į šią paradoksas forma Frege atsakas. Tai grindžiama tuo, kad savybės taikomos skirtingų tipų ir kokio tipo objekto yra niekada tą patį, kaip daiktų, su kuriuo jis susijęs.

Taigi, kyla net klausimas, ar turtas yra taikoma pati. Loginiai kalba, kuri atskiria tokio hierarchijos elementų, naudojant tipų teoriją. Nors jis jau naudojamas Frege, pirmą kartą ji yra visiškai paaiškinti ir pagrįsti Russell priedo "principas". Iš tipų teorija buvo išsamesnė nei Frege lygių skirtumo. Ji pasidalino savybės yra ne tik skirtingų tipų logika, bet taip pat nustatyti. įrašykite teoriją išspręsti į Raselas taip paradoksas prieštarauja.

Norint būti filosofiškai tinkamas, iš tipų savybių teorijos priėmimas reikalauja, kad į savybes taip, kad gamta teorijos plėtrą galėtų paaiškinti, kodėl jie negali būti taikomi patys. Iš pirmo žvilgsnio, tai prasminga teigti savo turtą. Būti savarankiškai tapatybės nuosavybė, atrodytų, taip pat savarankiškai tapatybės. Turtas atrodo gražus malonus. Lygiai taip pat, matyt, atrodo, kad klaidinga sakyti, kad yra katė nuosavybė yra katė.

Nepaisant to, įvairūs mąstytojai pateisinti skirtingų tipų padalinys. Russellas net davė skirtingus paaiškinimus skirtingu laiku savo karjerą. Savo ruožtu, dėl skirtingų sąvokų Frege lygių atskyrimo pagrindimas ateina iš jo teorijos nesočiųjų sąvokas. Sąvokos, kaip funkcija, iš esmės, yra neišsami. Teikti vertę, jie turi argumentu. Jūs galite ne tik viena koncepcija Predicate tos pačios rūšies sąvoka, nes ji vis dar reikalauja savo argumentus. Pavyzdžiui, nors tai yra įmanoma imtis kvadratinės šaknies iš kvadratinės šaknies iš skaičiaus, jūs galite ne tik naudotis kvadratinė šaknis funkciją kvadratinės šaknies funkciją ir gauti rezultatą.

Apie konservatyvumo savybių

Kitas galimas sprendimas yra paradoksas savybės Paneigiančiojo savybės buvimas pagal bet esamas sąlygas, arba tinkamai suformuota predikato. Žinoma, jei kas nors nevengiama metafizinių savybių tiek objektyviais ir nepriklausomais elementų visumos, jei mes nominalizmo paradoksą galima išvengti visiškai.

Tačiau, siekiant išspręsti antinomijos nebūtinai turi būti taip, ekstremalios. Loginiai aukštesnės eilės sistemos sukurtas Frege ir Russell, yra tai, kas vadinama konceptualų principą, pagal kurį kiekvienas atviros formules, neatsižvelgiant į tai, kaip sudėtinga egzistuoja kaip dalis turto ar sąvoka Pavyzdžiui, tik tuos elementus, kurie atitinka formulę. Jie kreipėsi į kiekvieno galimo rinkinį sąlygų ar predikatai, požymiai, nesvarbu, koks sudėtingas jie buvo.

Nepaisant to, buvo galima imtis daugiau griežtus metafizikos savybės, suteikiant teisę į objektyvios egzistencijos paprastų savybių, įskaitant, pavyzdžiui, tokių kaip raudona spalva, tvirtumas, gerumo ir pan., D. Jūs netgi galite leisti šios savybės taikyti sau, pavyzdžiui, gerumo gali būti natūra.

Ir tas pats statusas sudėtingų atributų gali būti paneigta, pavyzdžiui, tokie "savybės" kaip turintys septyniolikos galvas, būti parašytas po vandeniu ir pan., D. Šiuo atveju, nėra iš anksto būklė neatitinka turtą, suprantama kaip atskirai esamas elementas, kuris turi savo savybes. Taigi galima paneigti paprastų savybių egzistavimą būti-turtas-kad-ne taikyti iki savęs ir išvengti paradoksą taikant labiau konservatyvius metafizinių savybių.

Raselo paradoksas: sprendimas

Svarbiausia buvo pažymėta, kad tuo savo gyvenimo pabaigos Frege visiškai atsisakė rinkinių logiką. Tai, žinoma, vienas sprendimas į antinomijos į rinkinių forma: paprastas neigimas tokių elementų kaip visumos egzistavimo. Be to, yra ir kitų populiarus pasirinkimas, pagrindai, kurie yra parodyta žemiau.

Teorija daugelį tipų

Kaip minėta anksčiau, Russellas grojo Išsamesnį teorijos tipai, kurie dalijasi ne tik savybių arba sąvokas įvairių tipų, o taip pat nustatyti. Russellas Shared nustatyti ant atskirų vienetų įvairovei, iš rinkinių atskirus objektus ir pan pliuralizmas objektų rinkiniai nebuvo laikomi, ir rinkinių gausa - .. rinkinių. A niekada daug patiko tipą, leidžia jums turėti kaip pati valstybė. Todėl nėra visų rinkinių, kurie nėra nariai savo rinkinį, nes bet klausimus apie tai, ar jis yra kaip narys, pats pažeidimas tipas rinkinys. Vėlgi, čia problema yra paaiškinti metafizikos rinkiniai paaiškinti filosofinius pamatus padalijimo į tipus.

antsluoksnis

1937, V. V. Kuayn pasiūlė alternatyvų sprendimą, tokiu būdu panašus į tipų teorijos. Pagrindinė informacija apie tai yra.

Atskirti elementų rinkiniai ir kt. Pagaminti taip, kad rasti pliuralizmą prielaida visada yra neteisinga ar prasmės. Rinkiniai gali būti numatytos tik apibrėžiant jų sąlygos nėra pažeidimas tipo. Taigi, Quine pasakymas "x yra ne x narys" yra prasmingas teiginys nereiškia, kad apie visus elementus x, tenkinančių šią sąlygą visuma.

Šioje sistemoje rinkinys egzistuoja tam tikrą atvirą formulės A tada ir tik tada, jei jis yra sluoksninės, T. E. Jei kintamieji priskiriami teigiami sveikieji skaičiai tokie, kad kiekvieno rodiklio atsiradimo iš prieš jį kintamasis pliuralizmas yra priskirtas užduotis vienetas, mažesnis negu kintamojo, Žemiau po juo. Šių blokų Raselo paradoksas, nes formulė naudojama nustatyti problemą, rinkinį, yra tas pats, prieš ir po kintamasis narystės ženklas todėl Nestratifikuotas.

Bet jis turi dar nustatyti, ar gaunama sistema, kuri Quine vadinamas "Naujos Pamatai matematinės logikos" nuoseklūs.

atmetimas

Visiškai kitoks požiūris yra priimtas atsižvelgiant į Zermelo teorija - Frenkel (ZF). Čia taip pat nustatyti ribą nuo rinkiniai egzistavimą. Vietoj to, požiūris "iš viršaus į apačią" Russell ir Frege, kuris iš pradžių maniau, kad visos sąvokos, savybės, ar sąlygų, gali pasiūlyti apie visų dalykų visuma su šio objekto arba susitikti tokią sąlygą, kad ZF-teorijos, viskas prasideda "iš apačios į viršų".

Atskirų elementų tuščias rinkinį ir sudaro rinkinį. Todėl, skirtingai nuo ankstesnių sistemų ir Russell Frege FIT nepriklauso universalios rinkinys, kuris apima visus elementus, ir net visas rinkinius. ZF, nustato griežtus apribojimus dėl rinkinių egzistavimą. Gali egzistuoti tik tiems tikslams, kuriems ji yra aiškiai postuluojama arba kurie gali būti formuluojami naudojant kartotinis procesus ir pan. D.

Tada, vietoj sąvokos abstrakcijos naivus rinkinys, kuriame teigiama, kad tam tikras elementas yra įtrauktas į rinkinį, jei ir tik jei jis atitinka sąlygas, atskyrimo principas naudojamas DF, atskyrimas arba "rūšiavimas". Vietoj darant prielaidą, kad visų elementų, kurie be išimties visuma atitinka tam tikrą būklę, už kiekvieno esamo komplekto Aussonderung rodo visų elementų originalaus komplekto, tenkina sąlygą pogrupyje egzistavimą.

Tada ateina abstrakcija principas: jei nustatėte egzistuoja, tada su visais x A x priklauso Pogrupio A, kuris tenkina sąlygą, jei ir tik jei x tenkina sąlygą C. Šis metodas išsprendžia paradoksas Russell, nes mes negalime tiesiog manyti, tai yra, visų rinkinių, kurie nėra nariai, patys, rinkinys.

Atsižvelgdama rinkinių daug, galite pasirinkti arba jį padalyti į rinkinius, kurie patys, ir tie, kurie nėra tokie, bet kadangi nėra universalus rinkinys mes nesaisto rinkinį visų rinkinių. Neprisiimant problemą nustato Russellas prieštaravimas negali būti įrodytas.

kiti sprendimai

Be to, ten buvo pratęs arba modifikacijos šių sprendimų, pavyzdžiui, šakinio tipo teorijos principai "Matematikos" sistemos išplėtimas "matematinė logika" Quine, taip pat daugiau naujausių pokyčių rinkinių teorijos, padarė Bernays, Gödel von Neumann. Klausimas, ar atsakymas į netirpios paradoksas Bertrand Russell nerasta klausimas, vis dar yra diskusijų klausimas.