Įstrižainė lygiakraštis trapecijos. Kas yra vidurinioji linija trapecijos. Tipai trapezoids. Trapecija - tai ..

Trapecija - ypatingas atvejis iš keturkampio, kurioje viena pora pusių yra lygiagrečios. Terminas "trapecija" yra kilęs iš graikų kalbos žodžio τράπεζα, reiškiančio "lentelę", "lentelę". Šiame straipsnyje mes pažvelgti tipų trapecijos ir jo savybes. Be to, mes pažvelgti, kaip apskaičiuoti atskirų elementų geometrinė figūra. Pavyzdžiui, įstrižainė lygiakraščio trapecijos, vidurinės linijos, srityje ir kt. Medžiaga pateikta elementarių geometrijos populiarus stilius, T. E. lengvai prieinamu būdu.

apžvalga

Pirma, galime suprasti, ką keturkampį. Šis skaičius yra specialus atvejis daugiakampis, kurio keturių pusių ir keturių viršūnių. Du viršūnių keturšalė, kurie nėra greta, vadinami priešais. Tą patį galima pasakyti apie dviejų negretimų pusių. Pagrindiniai tipai Keturkampis - lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas, trapecijos ir deltinį.

Taigi atgal į trapecijos. Kaip jau sakėme, šis skaičius du kraštinės yra lygiagrečios. Jie vadinami bazės. Kiti du (ne-lygiagrečiai) - šonai. Panaudotų medžiagų, įvairių egzaminų ir patikrinimų labai dažnai galima sutikti iššūkius, susijusius su trapezoids kurių sprendimas dažnai reikia studento žinių nėra įtraukti į programą. Mokykla kursai geometrija pristato mokinius su kampų savybes ir įstrižainių taip pat vidurinę liniją lygiašonio trapecijos. Tačiau, išskyrus, kad nurodyta geometrinė forma turi kitų funkcijų. Bet apie juos vėliau ...

tipų trapecijos

Yra daug tipų šio skaičiaus. Tačiau dažniausiai įprasta svarstyti du iš jų - lygiašonis ir stačiakampiai.

1. stačiakampio trapecijos formos - figūra, kurioje vienas iš pusių statmenai prie pagrindo. Ji turi du kampai visada yra lygus devyniasdešimt laipsnių.

2. lygiakraščio trapecijos - geometrinė figūra, kurio kraštinės yra lygūs. Taigi, o prie pagrindo kampai taip pat lygūs.

Pagrindiniai principai metodai studijuoja trapecijos savybes

Pagrindiniai principai apima vadinamosios užduoties metodo naudojimą. Tiesą sakant, nėra reikalo sudaryti teorinį kursą geometrija naujų savybių šio skaičiaus. Jie gali būti atvira arba suformuluoti įvairias užduotis (geriau sistema) procesą. Labai svarbu, kad mokytojas žino, kokias užduotis jums reikia įdėti priešais studentams bet kuriuo metu mokymosi procese. Be to, kiekvienas trapecijos turtas gali būti atstovaujama kaip svarbiausią užduotį užduočių sistema.

Antrasis principas yra vadinamasis spiralės organizavimas studija "puikių" trapecijos savybes. Tai reiškia grįžimą į mokymosi atskirų bruožų Geometrinė figūra procesą. Taigi, studentai lengviau prisiminti juos. Pavyzdžiui, iš keturių kiekis nuosavybė. Jis gali būti įrodyta, kaip panašumo tyrimo ir vėliau naudojant vektorių. A lygių trikampiai, esančių prie paveiksle pusių, ji yra įmanoma įrodyti naudojant ne tik trikampių vienodomis aukščių atliktų į šonus iš kurių guli ant tiesia linija savybes, bet taip pat pagal formulę: S = 02/01 (ab * sinα). Be to, tai yra įmanoma dirbti į Sines įstatymą aprašytą t įbrėžto trapecijos arba dešinėje status trikampis ir trapecijos. D.

Iš "užklasinė" naudoti yra geometrinė figūra į mokyklos kurso turinys - tai užduotis jų technologija mokymą. Pastovi nuoroda į studijuoti į kitas ištrauka savybės leidžia studentams išmokti trapecijos giliau ir užtikrina užduoties sėkmę. Taigi, mes pereisime prie šio nuostabaus figūra tyrimas.

Elementai ir savybės lygiašonio trapecijos

Kaip mes minėta, šiame Geometrinė figūra pusės yra lygios. Dar jis yra žinomas kaip teisinga trapecijos. O kas tai yra, kad puikus ir kodėl gavo savo vardą? Ypatumus šio skaičiaus pasakoja, kad ji turi ne tik lygias puses ir kampai prie pagrindo, bet ir įstrižai. Be to, iš lygiašonio trapecijos kampų suma yra lygi 360 laipsnių. Bet tai dar ne viskas! Tik aplink lygiašonis galima apibūdinti visų žinomų trapezoids ratą. Taip yra dėl to, kad priešingų kampų suma šis skaičius yra 180 laipsnių, ir tik pagal šią sąlygą gali būti apibūdinta kaip ratu aplink keturkampis. Šie savybės Geometrinė figūra yra tai, kad atstumas nuo pagrindo iki priešingos smailių linijoje, kurioje yra ši bazė bus lygus vidurinės linijos projekcija viršuje.

Dabar pažvelkime, kaip rasti apie lygiašonio trapecijos kampus. Apsvarstykite išspręsti šią problemą, su sąlyga, kad iš šalių dydžiu žinoma figūra.

sprendimas

Tai yra įprasta, žymint quadrangle raides A, B, C, D, kur BS ir BP - pagrindą. Į lygiašonio trapecijos kraštinės yra lygūs. Mes manyti, kad jų dydis yra lygus X ir Y matmenys yra bazės ir Z (mažesnio didesnis, atitinkamai). Dėl būtinybės išleisti į aukštį H. rezultatas kampu skaičiuoti yra stačiakampė trikampis "ABN kur AB - įžambinė ir BN ir an - kojos. Apskaičiuokite kojų AN dydis: atimti iš didesnio pagrindo minimaliai, o rezultatas yra padalintas 2. Parašyti formulę: (ZY) / 2 = F. Dabar apskaičiuoti smailiu kampu trikampis naudojimo funkcijos cos. Gauname tokią sąskaitą: cos (β) = x / F Dabar apskaičiuoti kampas: β = Arcos (x / F). Be to, žinant vieną kampą, galime nustatyti, ir, antra, kad šis elementarios aritmetinės operacijos: 180 - ß. Visi kampai yra apibrėžtas.

Taip pat yra antras sprendimas šią problemą. Pradžioje praleistas iš kampo į kojos aukštis N. apskaičiuoja BN vertę. Mes žinome, kad iš stačiojo trikampio įžambinė kvadratas yra lygus nuo kitų dviejų pusių kvadratų suma. Gauname: BN = √ (x2 F2). Be to, mes naudojame trigono funkcija TG. Rezultatas yra: β = arctg (BN / F). Ūmaus kampas randamas. Be to, mes apibrėžti buku kampu, kaip ir pirmąjį metodą.

Kita apie lygiašonio trapecijos įstrižainių turtas

Pirma, mes rašome keturis taisykles. Jei įstrižainės į lygiašonio trapecijos yra statmenos, tada:

- atvirkštinis dydis, aukštis yra lygus bazių sumos, padalintos iš dviejų;

- jos aukštis ir vidurio linijos yra lygūs;

- plotas trapecijos yra lygus aukščio kvadrato (vidurio linijos į puse bazių);

- prie įstrižo iš kvadratus, yra lygus pusei dvigubam kvadratinių bazių ar vidurinės linijos (aukštis) suma.

Dabar pažvelgti į formulę, apibrėžiančią įstrižainės lygiakraščių trapecijos. Šis informacijos gabalas gali būti suskirstyti į keturias dalis:

1. Formulės įstrižainės ilgis per savo pusėje.

Mes manome, kad A yra - mažesnę bazę, B - viršuje, C - lygias puses, D - įstrižainės. Šiuo atveju, ilgis gali būti nustatomas taip:

D = √ (C2 + A * B).

2. formulė įstrižainės ilgį kosinuso.

Mes manome, kad A yra - mažesnę bazę, B - viršuje, C - lygias puses, D - įstrižainės, a (mažesniąja bazę) ir ß (viršutinė bazė) - trapecijos kampus. Gauname tokią formulę, pagal kurią galima apskaičiuoti įstrižainės ilgis:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formulės įstrižainės ilgis lygiašonio trapecijos.

Mes manyti, kad A yra - apatinį vieta, B - viršutinė, D - įstrižainės, M - viduriniosios linijos H - aukštis, P - plotas trapecijos, alfa ir β - tarp įstrižainių kampas. Nustatyti iš šių formulių ilgis:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (+ H 2 (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Dėl šios atveju lygybė: sinα = sinβ.

4. Formulės įstrižainės ilgis per pusių ir aukščio.

Mes manome, kad A yra - mažesnę bazę, B - viršuje, C - pusių, D - įstrižainės H - aukštis, α - kampas su apatiniu bazę.

Nustatyti iš šių formulių ilgis:

- D = √ (+ H 2 (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (+ H 2 (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementai ir savybės stačiakampio formos trapecijos

Pažvelkime, ką sudomino šis geometrinė figūra. Kaip jau minėjome, mes turime stačiakampius yra trapecijos formos dvi stačiu kampu.

Be klasikinio apibrėžimo, yra ir kitų. Pavyzdžiui, stačiakampio formos trapecijos formos - trapecijos formos, kurioje viena pusė yra statmena prie pagrindo. Arba formą turinti šalutinis kampais. Šioje trapezoids aukščio tipas yra pusė, kuri yra statmena bazių. Vidurio linijos - segmentas, kuri jungia dviejų pusių midpoints. Tokio elemento objekto yra tai, kad jis būtų lygiagretus bazių ir lygus pusei jų suma.

Dabar aptarkime pagrindinius formules, kurios apibrėžia geometrines figūras. Norėdami tai padaryti, mes manome, kad A ir B - bazinis; C (statmenai prie pagrindo) ir D - pusių stačiakampio trapecijos, M - vidurio linijos, alfa - smailiu kampu, P - srityje.

1. pusėje statmenai bazių, figūra lygus aukščio (C = N), ir yra lygus antrosios šoninės A ilgį ir kampinių alfa didesniu bazės (C = A * sinα) sinusą. Be to, jis yra lygus su iš smailiu kampu alfa liestinės produktu, be to bazių skirtumo: C = (A-B) * tgα.

2. pusė D (ne statmenai prie pagrindo) lygus A ir B ir kosinuso (alfa) arba smailiu kampu į privataus aukščio skirtumas koeficientas skaičiai H ir sine smailiu kampu: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. pusė, kuri yra statmena bazių, yra lygus kvadratinei šakniai iš Skirtuminės D kvadrato - antrasis šoninis - ir kvadrato formos pagrindo skirtumai:

C = √ (q2 (A-B), 2).

4. pusės stačiakampio formos trapecijos formos yra lygus kvadratinei šakniai kvadratinė suma kvadratinė pusėje ir C bazių geometrinė forma skirtumas: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. pusė C yra lygus, panaudojimas jo bazės kvadratinės dvigubo sumos koeficientas: C = P / M = 2P / (a + b).

6. apibrėžta produkto M (vidurio linija stačiakampio trapecijos) aukščio arba horizontalia kryptimi plotas statmenai bazių: P = M * N = M * C.

7. Pozicija C yra du kartus didesnė už kvadrato formos koeficientas, susijusios su produktu sine smailiu kampu ir panaudojimas jo bazės suma: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formulės pusė stačiakampio formos trapecijos per jo įstrižainės, ir tarp jų kampu:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

kur D1 ir D2 - įstrižainės trapecijos; α ir β - tarp jų kampas.

9. Formulės pusėje per apatiniame bazės ir kiti kampas: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Kadangi trapecija su stačiais kampais yra ypač atvejis trapecijos, kitos formules, lemiantys šiuos duomenis, bus patenkinti ir stačiakampio formos.

Savybės incircle

Jei sąlyga yra sakoma, kad stačiakampio trapecijos įrašytas apskritimas, tada galite naudoti šias savybes:

- kad pagrindas suma yra iš pusių suma;

- atstumas nuo stačiakampio formos su lietimosi įbrėžto apskritimo kiekis viršuje visada yra lygi;

- aukštis yra lygus trapecijos į šoną, statmena bazių, ir yra lygi į apskritimo skersmens ;

- apskritimas centras yra taškas, kuriame susikerta Pusiaukampinė kampų ;

- jei šoninis iš kontakto vietos yra padalintas į atpjovomis N ir M, tada apskritimo spindulys yra lygus kvadratinei šakniai iš šių segmentų produkto;

- keturkampis suformuotas sąlyčio taškų, iš trapecijos viršaus ir iš įrašytas apskritimo centrą - tai kvadratas, kurio pusė yra lygi spinduliu;

- plotas figūra yra priežasties produktas ir pusę sumos bazių jos aukščio produktas.

panašus trapecijos

Ši tema yra labai naudinga studijuoti savybių geometrinių figūrų. Pavyzdžiui, įstrižainės suskaldyto į keturias trikampių yra trapecijos formos, ir yra greta kažko panašaus bazę, ir į šonus - iš lygūs. Šis teiginys gali būti vadinamas trikampių turtas, kuris sugedo trapecijos jos įstrižainėmis. Pirmoji dalis, šis pareiškimas pasirodė per dviejų kampų panašumo ženklas. Norėdami įrodyti, kad antroji dalis yra geriau naudoti metodą, aprašytą žemiau.

įrodymas

Priimkite šį skaičių ABSD (AD ir BC - nuo trapecijos pagrindas) yra suskirstytas įstrižainės HP ir AC. Sankirtos taškas - O. Mes gauname keturis trikampius: AOC - ne mažesnę bazę, BOS - viršutinė bazę, ABO ir SOD šonus. Trikampiai SOD ir Biofeedback turi bendrą aukštį tuo atveju, jeigu BO ir OD segmentai yra jų bazių. Manome, kad jų teritorijose (P) yra lygus šių segmentų skirtumo skirtumas: PBOS / PSOD = BO / ml = K. Todėl PSOD = PBOS / K Be to, trikampiai AOB ir Biofeedback turi bendrą aukštį. Priimtas jų bazinių segmentų SB ir OA. Mes gauti PBOS / PAOB = CO / O. = K PAOB = PBOS / K. Iš to išplaukia, kad PSOD = PAOB.

Konsoliduoti medžiaga studentai skatinami rasti ryšį tarp trikampių gautų srityse, kuri neveikia trapecijos jo įstrižainių, spręsdamas kitą užduotį. Yra žinoma, kad trikampiai BOS ir ADP sritys yra lygūs, būtina rasti trapecijos plotą. Nuo PSOD = PAOB, tada PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Nuo trikampių BOS ir ANM panašumo taip, kad BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Todėl, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Gauk PSOD = √ (* PBOS PAOD). Tada PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

savybių panašumo

Toliau plėtoti šią temą, tai galima įrodyti ir kitų įdomių bruožai trapezoids. Taigi, su panašumo gali įrodyti turto segmentą, kuris eina per tašką suformuotas iš Geometrinė figūra įstrižainių susikirtimo pagalba, lygiagrečiai su žeme. Už tai mes išspręsti šią problemą: būtina rasti ilgis RK segmentą, kirstų tašką O. Iš trikampių ADP ir SPU panašumo matyti, kad AO / os = AD / BS. Nuo trikampių ADP ir ASB panašumo išvada, kad AB "/ AC = PO / AD =" BS / (BP + BS). Tai reiškia, kad BS * PO = AD / (AD + BC). Be to, iš trikampių MLC ir ABR panašumo matyti, kad OK * BP = "BS / (BP + BS). Tai reiškia, kad OC ir RC = RC = 2 * LST * AD / (AD + BC). Segmentas kertanti susikirtimo taško įstrižainių pagrindui lygiagretaus ir jungiantis dvi puses, susikirtimo taškas yra padalinti per pusę. Jo ilgis - yra harmoninis vidurkis proto skaičiai.

Apsvarstykite šiuos požymius trapecijos, kuris yra vadinamas keturių taškų turtą. susikirtimo įstrižainių (D) punktas, iš iš pusių (E), taip pat kaip tarpinio bazių (T ir G) tęsinys sankirta visada guli toje pačioje eilutėje. Tai lengva įrodyti panašumo metodas. Gautos trikampiai yra panašūs BES ir automatinį, ir kiekviena įskaitant medianinį ET ir DLY padalinti viršūnės kampas E lygiomis dalimis. Taigi, E punktas, T ir F yra vienoje tiesėje. Panašiai, toje pačioje eilutėje yra išdėstyti kalbant apie T, O, ir G. Tai išplaukia iš trikampių BOS ir ANM panašumo. Taigi galime daryti išvadą, kad visi keturi terminai - E, T, O ir F - bus gulėti ant tiesia linija.

Naudojant panašius trapezoids, gali būti pasiūlyta studentams rasti segmento (LF), kuri padalina figūra į dvi panašaus ilgio. Šis gabalas turi būti lygiagreti bazių. Nuo gautos trapecijos ALFD LBSF ir panašūs, BS / LF = LF / skelbimą. Tai reiškia, kad LF = √ (BS * BP). Galime daryti išvadą, kad segmentas, kuris suskirsto į dvi trapecijos kaip, turi ilgis geometrinį bazių ilgio išsiaiškinti.

Apsvarstykite šį panašumą turtą. Jis yra pagrįstas segmento, kad padalina trapecijos į dvi lygias dydžio gabalus. Sutinku, kad trapecijos ABSD segmentas yra padalintas į dvi panašias EH. Iš B viršuje sumažino to segmento aukštis yra padalintas į dvi dalis LT - B1 ir B2. Gauti PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1, B2,) / 2. Toliau sudaro sistemą, kur pirmoji lygtis (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 ir antra (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1, B2,) / 2. Tai reiškia, kad B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) ir BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Randame, kad dalijant trapecijos ant dviejų vienodų, lygus vidutiniam ilgio kvadratin bazių ilgis: √ ((CN2 + aq2) / 2).

panašumas išvados

Taigi, įrodėme, kad:

1. segmentas jungiančius esant šoninių sienelių trapecijos vidurį, lygiagrečiai BP ir BS ir BS yra aritmetinis vidurkis ir BP (pagrindo ilgio trapecijos).

2. baras kertanti O susikirtimo įstrižainių lygiagrečiai AD ir BC punktas bus lygus harmonikų vidutinių numerių bp ir BS (2 * LST * AD / (AD + BC)).

3. segmentas kad panašiai trapecijos turi ilgis geometrinis vidurkis bazių BS ir BP.

4. Elementas, kad padalina formą į dvi vienodo dydžio, ilgis reiškia kvadratinių numerius BP ir BS.

Konsoliduoti medžiagą ir žinias apie ryšius tarp studento segmentų yra būtina sukurti juos konkrečiam trapecijos. Jis gali lengvai pamatyti vidutinio liniją ir segmentą, kad eina per tašką - iš figūrų įstrižainių susikirtimo - lygiagrečiai su žeme. Bet kur bus trečia ir ketvirta? Šis atsakymas bus studentui į nežinomą santykį tarp vidutinių reikšmių atradimas.

Atkarpos, jungiančios nuo trapecijos įstrižainių midpoints

Apsvarstykite šį turtą paveikslėlyje. Mes sutikti, kad segmentas MN yra lygiagreti bazių ir padalinti per pusę įstrižai. sankirtos taškas yra vadinamas W ir S. Šis segmentas bus lygus pusei skirtumo priežastis. Panagrinėkime tai išsamiau. MSH - vidutinė linija trikampio ABS, jis yra lygus BS / 2. Minigap - per vidurį linija trikampio DBA, jis yra lygus AD / 2. Tada mes pastebėjome, kad SHSCH = minigap-MSH todėl SHSCH = AD / 2 BS / 2 = (AD + BC) / 2.

svorio centras

Pažvelkime, kaip apibrėžti elementą tam tikrą geometrinė figūra. Norėdami tai padaryti, jūs turite išplėsti į priešingas puses bazę. Ką tai reiškia? Būtina pridėti bazę viršutiniame apačioje - bet iš šalių, pavyzdžiui, į dešinę. Mažesnis pratęsti viršutinės kairėje ilgį. Kitas, prijunkite jų įstrižainės. Susikirtimo šiame segmente su centrine linija paveiksle taškas yra sunkio trapecijos centras.

Įrašytas ir aprašyta trapecijos

Leiskite sąrašas funkcijų, tokių skaičių:

1. Eilutės gali būti įrašytas į ratą, tik jei jis yra lygiašonis.

2. aplink ratą gali būti apibūdinta kaip trapecijos, su sąlyga, kad iš jų bazių ilgių suma yra iš šonų ilgių suma.

Pasekmės įrašytas apskritime:

1. trapecijos aukštis visada aprašyta, lygus dvigubam spinduliu.

2. aprašytą trapecijos šoninės žiūrima iš stačiu kampu apskritimo centrą.

Pirmoji pasekmė yra akivaizdus, ir įrodyti, antrasis privalo įrodyti, kad SOD kampas yra tiesioginis, tai yra, iš tikrųjų, taip pat nėra lengva. Bet šio viešbučio žinios leidžia naudoti stačiojo trikampio išspręsti problemas.

Dabar mes nurodyti už lygiašonis trapecijos, kuris yra įrašytas į apskritimo pasekmes. Mes gauti, kad aukštis yra geometrinis vidurkis figūrinės bazės: H = 2R = √ (BS * BP). Įvykdyti pagrindinę metodą sprendžiant problemas trapezoids (dviejų aukščių principas), studentas turi išspręsti šią užduotį. Sutinku, kad "BT - iš lygiašonis aukštis skaičiai ABSD. Jums reikia rasti ruožai ne ir AP. Taikant pirmiau, ji bus tai padaryti aprašyta formulė nėra sunku.

Dabar leiskite mums paaiškinti, kaip nustatyti apskritimo spindulys iš zonos aprašyta trapecijos. Praleista viršų B aukščio ant pagrindo BP. Nuo apskritimas įrašytas į trapecijos, BS + 2AB = BP arba AB, = (BS + BP) / 2. Iš trikampio ABN surasto sinα = BN / 2 * AB "= BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Gauti PABSD = (BP + BS) * R, tai reiškia, kad R = PABSD / (AD + BC).

,

Visi formules vidurinės linijos trapecijos

Dabar atėjo laikas eiti į paskutinį punktą šios geometrinės figūros. Mes suprantame, kas yra viduryje linija trapecijos (m):

1. Per bazių: M = (A + B) / 2.

2. Po to, kai aukščio, pagrindo ir kampų:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Per aukščio ir matymo lauko kampą tarp jų, ir. Pavyzdžiui, D1 ir D2 - įstrižainė trapecijos; α, β - tarp jų kampas:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. rajone, aukštis: M = R / N