Iš į kampu sine darinys yra lygus tuo pačiu kampu kosinuso

Dana paprasta Trigonometry funkcija y = sin (x), yra sąskaitos įvairių kiekviename viso domeno punkte. Reikia įrodyti, kad iš sine darinys nėra jokio argumento, yra lygus tuo pačiu kampu kosinuso, tai yra, '= Cos (x).

Įrodymas remiasi išvestinės funkcijos apibrėžimo

Mes nustatome x (savavališkai) Kai mažas kaimynystėje tam tikru x Δh _0. Mes jums parodysime funkcija vertę jį, ir tuo X taške rasti tam tikro funkcija prieaugį. Jei Δh - argumentas padidintas, nauja argumentas - tai x ₀ + Δx = x, šios funkcijos reikšmė tam tikroje vertės argumentu (x) yra lygus sin (x ₀ + Δx), funkcija vertė tam tikru (X ₀₎ taip pat žinomas ,

Dabar mes turime Δu = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - gautą prieaugiui funkciją.

Pasak sine suma dvi nelygias kampų formulę mes konvertuoti skirtumą Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · sin (Δx) atėmus sin (x ₀₎ = (COS (Δx) -1 ) · sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · sin (Δh).

Atlikti pakaitos Terminai "pirmoji sugrupuoti į trečiąją sin (x _0), paimtas bendrą faktorius - sine - laikiklius. Mes gauta ekspresijos Cos skirtumo (Δh) -1. Ji liko pakeisti ženklą priešais skliaustuose ir skliausteliuose. Žinant, ką yra 1 cos (Δh), mes padaryti kaita ir gauti supaprastinta išraiška Δu, kuris vėliau padalinta Δh.
Δu / Δh turės formą: Cos (x ₀₎ · sin (Δh) / Δh 2 · Nuodėmė ² (0,5 x Δh) · sin (x ₀₎ / Δh. Tai iš funkcijos prieaugio įsileidimo į argumentą prieaugio santykis.

Belieka rasti santykio gautų mus per lim Δh ribą, linksta prie nulio.

Yra žinoma, kad riba sin (Δh) / Δx yra lygus 1, su sąlyga,. Ir išraiška 2 · Nuodėmė ² (0,5 x Δh) / Δh iš naujo, sudarydama suma ypač transformacijas produkto, kurio sudėtyje kaip pirmojo dauginamuoju puikus riba: frakcija, kuri ir znemenatel atskirties skaitiklį pagal 2, iš sine kvadratinių pakeisti produktą. Štai kaip:
(SIN (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · sin (Δx / 2).
Šio išraiškos, kai Δh prie nuliui riba bus lygus nuliui skaičius (0 padauginus iš 1). Pasirodo, kad santykis Δy / Δh riba yra Cos (x ₀₎ · 1-0, tai Cos (x _0), kurio išraiška yra nepriklausoma nuo Δh linkę 0. išvadą: į bet kokiu kampu sine darinys yra lygus x kosinusas x, gali būti parašyta, kaip: y '= Cos (x).

Gautas formulė yra įtraukta į žinomais darinių, kur visi elementariųjų funkcijų lentelėje

Sprendžiant problemas, kur jis atitinka sine išvestinę finansinę priemonę, galite naudoti diferenciacijos taisykles ir gatavų formulių stalo. Pavyzdžiui: rasti iš paprasčiausių funkcijų y išvestinę = 3 · sin (x) -15. Mes naudojame elementarią išvedimas taisyklių šalinimo skaitmeniniu daugikliu už išvestinės ženklą ir apskaičiuoti išvestinius pastovų skaičių (kuris yra lygus nuliui). Taikomos sine lentelėje vertė į kampu darinyje X vienodą Cos (X). Gauti atsakymą: Y = 3 · Cos (X) -O. Šis darinys, savo ruožtu, yra taip pat elementari funkcija Y = O · Cos (x).

Iš sine darinys kvadratu bet argumentas

Atsižvelgiant į išraiškos apskaičiavimą (SIN ² (x)) 'turi prisiminti, kaip diferencijuotą kompleksinį funkciją. Taigi, ² = sin (x) - tai galia veikia kaip sinusas kvadratu. Jo argumentas taip pat yra Trigonometric funkcija, sudėtingas argumentas. Šiuo atveju rezultatas yra lygus pirmojo daugiklio produktas yra sudėtingos darinio argumentu aikštė, o antrasis - iš sine darinys. Štai diferencijuoti iš funkcijos funkciją taisyklė: (U (V (x))) "yra (U (V (x)))" · (V (x)). " Išraiška v (x) - sudėtingas argumentas (vidinis funkcija). Jei suteikta funkcija "Y lygus sine kvadratu x", tada šio sudėtinio funkcijos išvestinė yra y "= 2 · sin (x) · Cos (X). Pirmojo daugiklis produktas dvigubai - darinys žinomas eksponentinė funkcija, ir Cos (x) - darinys sinuso kompleksas argumentas kvadratinį funkcija. Galutinis rezultatas gali būti transformuotos naudojant trigono sine dvigubo kampu formulę. A: darinys yra sin (2 · x). Ši formulė yra lengvai įsimenamas, jis dažnai naudojamas kaip stalo.