Būlio algebra. algebros logika. Elementai matematinės logikos

Šiandieniniame pasaulyje, mes vis dažniau naudoja mašinų ir dalykėlių įvairovė. Ir ne tik tada, kai būtina taikyti pažodžiui nežmoniškas jėga: perkelti apkrovą ją pakelti į aukštį, kasti ilgas ir gilus griovys ir tt Automobiliai Šiandien surinkti robotus, maistas yra virti Multivarki ir elementarios aritmetinės skaičiavimai gaminti skaičiuotuvai ... Daugiau ir dažniau girdime frazę "Būlio algebra". Galbūt atėjo laikas suprasti žmonėmis vaidmenį robotų ir mašinų kūrimo gebėjimas spręsti ne tik matematinis, bet ir loginių problemų.

logika

Graikų logika - tvarkingai sistema minties, kad sukuria tarp pateiktų sąlygų santykius ir leidžia daryti išvadas, remiantis prielaidomis ir vertinimais. Gana dažnai, mes vienas kito paklausti: "Tai yra logiška" Atsakymas patvirtina mūsų prielaidas arba kritikuoja minties traukinį. Tačiau šis procesas nesibaigia: mes ir toliau kalbėti.

Kartais sąlygomis (įvesties) skaičius yra toks didelis, o tarp jų santykiai taip painu ir sudėtinga, kad žmogaus smegenys negali "suvirškinti" visus iš karto. Jums gali prireikti daugiau nei vieną mėnesį (savaitę, metų) už tai, kas vyksta supratimą. Bet modernus gyvenimas nesuteikia mums Šie laiko intervalai priimti sprendimus. Ir mes kreiptis į kompiuterių pagalbos. Ir tai, kad čia yra algebra ir logika, su savo įstatymais ir savybes. Po atsisiųsti visus pirminiais duomenimis, mes leidžia kompiuteriui atpažinti visus santykius, siekiant pašalinti prieštaravimus ir rasti tinkamą sprendimą.

Matematika ir logika

Įžymūs Gotfrid Vilgelm Leybnits suformulavo "matematinės logikos", koncepciją, kurios užduotys buvo lengva suprasti tik mažą ratą mokslininkai. Ypač įdomūs yra kryptis nesukėlė ir XIX amžiuje matematinės logikos žinomas keletą viduryje.

Didysis palūkanų mokslinėje bendruomenėje sukėlė ginčą, kuriame anglas Dzhordzh Bul deklaruotą ketinimą sukurti matematikos šaką, neturi jokios praktinės naudos. Kaip žinome iš istorijos, šiuo metu aktyviai plėtoti pramoninę gamybą, mes sukūrėme visas pagalbinių mašinų rūšių, t. E. Visi moksliniai atradimai turėjo praktinę orientaciją.

Žvelgiant į ateitį, mes sakome, kad Būlio algebra - labiausiai naudojama pasaulyje šiandien dalis matematikos. Taigi jūsų argumentas Buhl prarasta.

Dzhordzh Bul

Autoriaus asmenybė nusipelno ypatingo dėmesio. Net atsižvelgiant į tai, kad praeityje žmonės užaugo prieš mus, vis dar reikia pastebėti, kad 16 metų Jono. Buhl dėstė kaimo mokykloje, ir iki 20 metų atidarė savo mokyklą Lincoln. Matematikas puikiai įvaldę penkis užsienio kalbų, ir savo laisvalaikį, skaitė Newton ir Lagrange darbus. Ir visa tai - į įprastą darbuotojo sūnus!

1839, Buhl išsiuntė savo pirmuosius mokslinius straipsnius į Kembridžo Mathematical Journal. Mokslininkas kreipėsi 24 metų. Boole darbas yra toks suinteresuoti nariai Royal Society, 1844 jis gavo medalį už indėlį į vystymosi matematinės analizės. Keletas paskelbtus dokumentus, kuriuose matematinės logikos elementai, matematika leido jauna imtis profesoriaus į Cork County College postą buvo aprašyta. Prisiminkite, kad tuo labai Boole švietimo nebuvo.

idėja

Iš esmės, Būlio algebra yra labai paprasta. Yra pareiškimai (loginis išraiškos), kad nuo Atsižvelgiant į matematikos klausimu, gali būti apibrėžta tik dviem žodžiais: "tiesa" arba "klaidinga". Pavyzdžiui, medžiai pavasarį pražysta - tiesa, vasarą Sningant - melas. Matematikos grožis yra tai, kad tai nėra būtina naudoti tik skaičiai. Dėl algebros sprendimų visai tinka pareiškimus, su unikalia prasme.

Taigi, logikos algebros gali būti naudojamas tiesiog visur: Planavimas ir rašymo instrukcija, analizė prieštaringa informacija apie renginius bei veiksmų seka nustatymo. Svarbiausia - suprasti, kad nesvarbu, kaip mes nustatyti tiesą ar melagingo ataskaitose. Iš šių "kaip" ir "kodėl" reikia ignoruoti. Svarbu yra tik fakto konstatavimas: tiesa yra melas.

Žinoma, programavimo svarbiausius funkcijas logikos algebra, kurie apskaitomi su atitinkamais ženklais ir simboliais. Ir išmokti juos - tai reiškia išmokti naują užsienio kalbą. Nieko nėra neįmanoma.

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Nesigilinant į gylį, mes dirbame su terminologija. Taigi, Būlio algebra suponuoja:

• atskaitomybę;
• loginių operacijų;
• funkcijos ir įstatymų.

Pareiškimai - bet teigiamai išraiška, kuri gali būti aiškinama dviem vertinami. Jie parašyta kaip skaičių (5> 3) arba suformuluotų žinomus žodžius (dramblio - didžiausia žinduolių). Šiuo atveju frazė "Žirafa kaklas yra ne" taip pat turi teisę egzistuoti, tik Būlio algebra ją apibrėžti kaip "melas".

Visi teiginiai turi būti nedviprasmiškos, tačiau jie gali būti pagrindinis arba junginys. Naujausi naudoti loginius ryšulio. E. algebra frazės Teismo sprendimų junginys, sudarytas iš elementarių loginių operacijų be.

Būlio algebra operacijos

Mes jau atsimenu, kad teismo sprendimų algebros operacijas - logiška. Tiesiog kaip skaičių, naudojant aritmetines operacijas pridėti, atimti, arba palyginti numerius algebros, matematinės logikos elementai leidžia atlikti sudėtingus pareiškimus, paneigti arba apskaičiuoti galutinį rezultatą.

Loginių operacijų, dėl formalizavimo ir paprastumo pagal formulę, susipažinę su mumis aritmetinis išreikšta. Savybės Būlio algebros lygtis būtų galima įrašyti ir apskaičiuoti nežinoma. Loginiai operacijos paprastai registruojami tiesos lentelę. Jos elementai apibrėžti stulpelius ir skaičiavimo operaciją, kuri atliekama ant jų, ir eilutės rodo skaičiavimų rezultatą.

Pagrindinis logika veiksmų

Dažniausiai į Būlio algebra operacijų yra neiginys (ne), o loginis AND ir OR. Taigi tai yra įmanoma praktiškai apibūdinti visus algebros sprendimų veiksmus. Mes išsamiai išnagrinėti kiekvieną iš trijų operacijų.

Neiginys (ne) yra taikomas tik vienas elementas (operando). Todėl operacija vadinama unarinį paneigimas. Norėdami įrašyti "ne" naudojant tokią simbolių koncepciją: ¬, A arba A !. Lentelių forma atrodo taip:

Neigimo tipiškas tokio pareiškimo funkcija: jeigu tai tiesa, tai A - yra klaidinga. Pavyzdžiui, mėnulis sukasi aplink Žemę - tiesos; Žemė sukasi aplink Mėnulį - melas.

Loginiai dauginimo ir papildymas

Logiškas ir operacija vadinama konjunkcija. Ką tai reiškia? Pirma, kad ji gali būti taikoma dviejų operandų, ty, aš - .. Dvejetainiai operacija. Antra, tai yra tik abiejų operandų (abu A ir B) tiesa atveju yra teisinga ir pati išraiška. Patarlė, "Kantrybė ir šiek tiek pastangų" reiškia, kad tik du veiksniai gali padėti žmogui susitvarkyti su sunkumais.

simboliai yra naudojami įrašymo: A∧B, A⋅B arba A && B.

Jungtukas yra panašus į dauginimosi aritmetika. Kartais ir pasakyti - loginį dauginimąsi. Jei dauginti iš lentelės eilučių elementus, mes gauname rezultatą, panašų į loginio mąstymo.

Dysjunkcja yra loginis ARBA operacija. Tiesa, jei bent vienas iš teiginių yra teisingas (A arba B). Ji parašyta kaip šis: A∨B, A + B arba A || B. tiesa lentelė šių operacijų yra:

Padalijimas panašių aritmetinį to. loginis papildymas operacija turi tik vieną apribojimą: 1 + 1 = 1. Bet mes prisimename, jog į skaitmeninį formatą apsiriboja matematinės logikos 0 ir 1 (kur 1 - tiesa, 0 - klaidinga). Pavyzdžiui, teiginys "muziejuje galima pamatyti šedevrą arba rasti gerą įmonę" reiškia tai, ką galite pamatyti meno kūrinius, ir tai yra įmanoma, kad atitiktų įdomų žmogų. Tuo pačiu metu, neatmeta, kad tuo pačiu metu įvykdomos abi įvykių galimybę.

Funkcijos ir įstatymai

Taigi, mes jau žinome, kas logiška operacijos naudojant Būlio algebra. Funkcijos aprašyti visi į matematinės logikos elementų savybes ir leidžia mums supaprastinti sudėtingus sudėtinius teiginius. Patys aišku ir paprasta atrodo atmetimo turtą iš išvestinių finansinių priemonių operacijas. Pagal dariniai yra suprantama XOR, reikšmę ir lygiavertiškumą. Kaip mes perskaitėme tik pagrindines operacijas, tada turtas yra taip pat mano, kad jie tik.

Asociatyvumas reiškia, kad pareiškimus, pavyzdžiui, "A ir B abu, ir B 'seka sąrašas iš operandų nesvarbu. Formulė yra parašytas taip:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kaip matote, tai nėra unikalus kartu, bet atsiskyrimo.

Komutatyvumo teigia, kad kartu arba atsiskyrimo rezultatas nepriklauso nuo kurio buvo laikomas daiktas iš pradžių:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distribucijos leidžia atskleisti skliausteliuose sudėtingų loginių išraiškų. Taisyklės yra panašūs į atidarymo skliaustuose į daugybos ir papildymas algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Vieneto savybės ir įbrėžimams, kuris gali būti vienas iš operandų taip pat yra panašūs į algebrinės Daugyba nulis arba vienas, ir to vieneto:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency mums sako, kad jei santykinai dvi lygias operandai operacijos rezultatas yra tas pats, jūs galite "mesti" perteklinius komplikuoti mąstymo operandų. Ir kartu, ir disjunkcijos operacijos idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Įsigijimas taip pat leidžia mums, kad supaprastinti lygtis. Absorbcijos teigiama, kad, kai ekspresija yra uždėti ant vienos operando, kitą operaciją su tuo pačiu elementas žodžius "operando mažinimo operaciją.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

operacijų seka,

Operacijų seka yra labai svarbi. Tiesą sakant, kaip ir algebros, yra prioritetas funkcija, kuri naudoja Būlio algebra. Formulės galima supaprastinti taikomi tik operacijų reikšmės. Įvertinta iš svarbiausių nežymios, mes gauti tokią seką:

1. Neigimas.

2. Jungtukas.

3. Padalijimas, XOR.

4. POVEIKIS, lygiavertiškumas.

Kaip matote, tik kad kartu paneigia ir neturi vienodą prioritetą. A atsiskyrimo ir XOR prioritetas yra lygūs, taip pat iš netiesiogiai ir lygiavertiškumo prioritetai.

Funkcijos reikšmę ir lygiavertiškumo

Kaip jau minėjome, be to, pagrindinių loginių operacijų, matematinės logikos ir algoritmų teorija, naudojant dariniai. Tai dažniausiai POVEIKIS ir lygiavertiškumas.

Tai reiškia arba logiška - šis pareiškimas, kuriame vienas veiksmas yra sąlyga, o kitas - jo įgyvendinimo rezultatas. Kitaip tariant, šis pasiūlymas su "jeigu ... tada" pretekstu. "Po pietų ateina atsiskaityti." E. Vairavimui reikia priveržti ant rogės kalvos. Jei nėra noro judėti žemyn nuo kalno, o tada vilkite rogės nėra būtinas. Ar parašyta, kad: A → B arba A⇒B.

Lygiavertiškumo reiškia, kad grynasis poveikis pasireiškia tik tada, kai abu operandai yra tiesa. Pavyzdžiui, naktį užleidžia dieną tada (ir tik tada), kai saulė pakyla virš horizonto. Į matematinės logikos šio pareiškimo kalba yra parašyta, kaip A≡B, A⇔B A == B.

Kiti įstatymai Būlio algebra

Algebra sprendimas plėtoja, ir daugelis suinteresuotų mokslininkų suformuluoti naujus įstatymus. Garsiausios yra laikomi postulatai škotų matematikas O. De Morgan. Jis pastebėjo ir davė tokių savybių, kaip glaudžiai neigimo, to ir dvigubo neigiamas apibrėžimas.

Uždaryti neigimas rodo, kad prieš skliaustus, nėra paneigiamas: ne (A arba B) = ne A arba B NE

Kai operandas yra atmestas, nepriklausomai nuo jos vertės, pasakyti apie to:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ir, pagaliau, pats dvigubas neiginys kompensuoja. ty prieš arba operandas paneigimas dingsta ar lieka tik viena.

Kaip išspręsti bandymus

Loginiai reiškia supaprastinimo lemia lygtis. Tiesiog kaip algebra, būtina maksimaliai palengvinti pirmąją sąlygą (atsikratyti sudėtingomis įvesties operacijų ir su jomis), tada pradėti ieškoti teisingo atsakymo.

Ką daryti, kad supaprastinti? Konvertuoti visus dariniai paprasta operacija. Tada atskleisti visų laikiklius (arba atvirkščiai, kad skliausteliuose sumažinti šį elementą). Kitas žingsnis turėtų būti naudoti loginius algebros savybes praktikoje (absorbcijos savybes nulis ir vieną, ir t.).

Galų gale, lygtis turi sudaryti minimalaus skaičiaus nežinomųjų, kartu su paprastos operacijos. Paprasčiausias būdas ieškoti sprendimo, jei jūs padarote daug artimų negatyvų. Tada atsakymas bus pop-up, tarsi savaime.